Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập nâng cao về dạng phân số, thuộc chương trình Toán lớp 7. Bài tập này đòi hỏi chúng ta phải biết cách rút gọn tổng ở mẫu số và so sánh các phân số.

Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh:
P = 1/(1+2+3) + 1/(1+2+3+4) + … + 1/(1+2+3+…+59) < 2/3 Để làm được bài này, chúng ta cần đi qua các bước sau: Bước 1: Rút gọn mẫu số của từng phân số

Chúng ta nhận thấy mẫu số của mỗi phân số là tổng của các số tự nhiên liên tiếp.
Ta có công thức tính tổng của n số tự nhiên đầu tiên là:
\(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\)

Áp dụng công thức này cho từng mẫu số trong biểu thức P:
– Mẫu số thứ nhất: 1+2+3 = \(\frac{3(3+1)}{2} = \frac{3 \times 4}{2} = 6\)
– Mẫu số thứ hai: 1+2+3+4 = \(\frac{4(4+1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = 10\)
– …
– Mẫu số cuối cùng: 1+2+3+…+59 = \(\frac{59(59+1)}{2} = \frac{59 \times 60}{2} = 59 \times 30 = 1770\)

Như vậy, biểu thức P có thể viết lại là:
P = 1/6 + 1/10 + 1/15 + … + 1/1770

Bước 2: Tìm quy luật cho mẫu số và rút gọn phân số

Chúng ta có thể viết lại các mẫu số dưới dạng tích của hai số liên tiếp nhân với một hằng số:
6 = 2 x 3
10 = 2 x 5
15 = 3 x 5
…
Tuy nhiên, cách trên chưa thật sự tiện lợi. Chúng ta hãy nhìn lại công thức tính tổng ở mẫu số: \(\frac{n(n+1)}{2}\).
Khi đó, phân số có dạng: \(\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)}\).

Vậy, P có thể viết lại như sau:
P = \(\frac{2}{3 \times 4} + \frac{2}{4 \times 5} + \frac{2}{5 \times 6} + … + \frac{2}{59 \times 60}\)

Bước 3: Áp dụng phương pháp hiệu hai số

Ta nhận thấy dạng \(\frac{1}{n(n+1)}\) có thể tách thành hiệu của hai phân số.
Ta có công thức: \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\).

Áp dụng công thức này cho từng số hạng trong biểu thức P (nhân với 2):
\(\frac{2}{n(n+1)} = 2 \times \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right)\)

Vậy, biểu thức P trở thành:
P = \(2 \times \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\right) + 2 \times \left(\frac{1}{4} – \frac{1}{5}\right) + 2 \times \left(\frac{1}{5} – \frac{1}{6}\right) + … + 2 \times \left(\frac{1}{59} – \frac{1}{60}\right)\)

Ta có thể đặt 2 làm nhân tử chung:
P = \(2 \times \left[ \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} – \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} – \frac{1}{6}\right) + … + \left(\frac{1}{59} – \frac{1}{60}\right) \right]\)

Đây là dạng tổng telescoping (tổng lồng nhau), các số hạng ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
P = \(2 \times \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{60} \right)\)

Bước 4: Tính giá trị của P

Bây giờ chúng ta sẽ tính giá trị còn lại của P:
P = \(2 \times \left( \frac{20}{60} – \frac{1}{60} \right)\)
P = \(2 \times \left( \frac{19}{60} \right)\)
P = \(\frac{38}{60}\)

Ta có thể rút gọn phân số này:
P = \(\frac{19}{30}\)

Bước 5: So sánh P với 2/3

Cuối cùng, chúng ta cần so sánh P = 19/30 với 2/3.
Để so sánh hai phân số, chúng ta quy đồng mẫu số hoặc so sánh tử số với tử số sau khi đã quy đồng mẫu số.

Quy đồng mẫu số chung là 30:
2/3 = \(\frac{2 \times 10}{3 \times 10} = \frac{20}{30}\)

Bây giờ chúng ta so sánh 19/30 và 20/30.
Vì 19 < 20 nên \(\frac{19}{30} < \frac{20}{30}\). Do đó, P < 2/3. Vậy chúng ta đã chứng minh xong bài toán.
Các em thấy đấy, để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững công thức tính tổng các số tự nhiên, phương pháp tách phân số và khả năng biến đổi đại số. Các em hãy xem lại các bước và ghi nhớ cách giải để áp dụng cho những bài tập tương tự nhé.