Xin chào các em học sinh lớp 4! Cô là giáo viên Toán của chúng ta đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị. Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên n để biểu thức P = n⁴ + 4 là một số nguyên tố.

Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rõ các khái niệm:
–Số tự nhiên n: Là các số đếm 0, 1, 2, 3, …
–Số nguyên tố: Là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11,…

Bây giờ, chúng ta cùng đi vào bài giải chi tiết nhé!

Bước 1: Xét các trường hợp nhỏ của n

Chúng ta sẽ thử với một vài giá trị đầu tiên của n để xem P có những giá trị gì.

Nếu n = 0:
P = 0⁴ + 4 = 0 + 4 = 4.
Số 4 không phải là số nguyên tố (vì 4 chia hết cho 2).

Nếu n = 1:
P = 1⁴ + 4 = 1 + 4 = 5.
Số 5 là số nguyên tố (vì 5 chỉ chia hết cho 1 và 5).
Vậy, khi n = 1, P là số nguyên tố.

Nếu n = 2:
P = 2⁴ + 4 = 16 + 4 = 20.
Số 20 không phải là số nguyên tố (vì 20 chia hết cho 2, 4, 5, 10).

Nếu n = 3:
P = 3⁴ + 4 = 81 + 4 = 85.
Số 85 không phải là số nguyên tố (vì 85 chia hết cho 5).

Qua các ví dụ trên, chúng ta thấy có vẻ chỉ có n = 1 cho ra kết quả là số nguyên tố. Vậy, chúng ta cần chứng minh rằng với các giá trị khác của n (lớn hơn 1), P luôn không phải là số nguyên tố.

Bước 2: Phân tích biểu thức P = n⁴ + 4

Để làm được điều này, chúng ta cần tìm cách phân tích biểu thức P thành nhân tử. Đây là một kỹ thuật quan trọng trong toán học. Các em thử nhớ lại hoặc xem lại các hằng đẳng thức mình đã học nhé.

Biểu thức P = n⁴ + 4 có thể được viết lại như sau:
P = n⁴ + 4n² + 4 – 4n²
P = (n² + 2)² – (2n)²

Đây là dạng của hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: a² – b² = (a – b)(a + b).
Áp dụng vào biểu thức của chúng ta, với a = n² + 2 và b = 2n.
Ta có:
P = [(n² + 2) – 2n][(n² + 2) + 2n]
P = (n² – 2n + 2)(n² + 2n + 2)

Bây giờ, chúng ta đã phân tích được P thành tích của hai thừa số.

Bước 3: Xét các thừa số để P là số nguyên tố

Một số nguyên tố chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Để P = (n² – 2n + 2)(n² + 2n + 2) là số nguyên tố, thì một trong hai thừa số phải bằng 1, và thừa số còn lại phải là số nguyên tố đó.

Chúng ta hãy xét từng thừa số:

Thừa số thứ nhất: n² – 2n + 2
Thừa số thứ hai: n² + 2n + 2

Vì n là số tự nhiên, nên n² ≥ 0.
Do đó, n² + 2n + 2 luôn lớn hơn 1 (nếu n=0 thì 2, nếu n>0 thì >2).
Vậy, để P là số nguyên tố, thì thừa số thứ nhất (n² – 2n + 2) phải bằng 1.

Ta có phương trình:
n² – 2n + 2 = 1

Chuyển 1 sang vế trái:
n² – 2n + 2 – 1 = 0
n² – 2n + 1 = 0

Đây là dạng của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: (a – b)² = a² – 2ab + b².
Ở đây, a = n và b = 1.
Vậy, ta có:
(n – 1)² = 0

Để (n – 1)² = 0 thì n – 1 phải bằng 0.
n – 1 = 0
n = 1

Khi n = 1, chúng ta hãy kiểm tra lại:
Thừa số thứ nhất: 1² – 2(1) + 2 = 1 – 2 + 2 = 1.
Thừa số thứ hai: 1² + 2(1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5.
P = 1 * 5 = 5.
Và 5 là số nguyên tố.

Bước 4: Kiểm tra các trường hợp còn lại

Chúng ta đã xét trường hợp n = 0 ở Bước 1 và thấy P = 4, không phải số nguyên tố.

Chúng ta đã chứng minh rằng nếu P là số nguyên tố thì n = 1. Vậy, với mọi giá trị n khác 1 (và n > 0), P sẽ không phải là số nguyên tố. Tại sao?

Xét khi n > 1.
Khi đó, n² – 2n + 2 = (n – 1)² + 1. Vì n > 1 nên n – 1 > 0, do đó (n – 1)² > 0.
Vậy n² – 2n + 2 > 1.
Và n² + 2n + 2 cũng lớn hơn 1.

Vì cả hai thừa số đều lớn hơn 1 khi n > 1, nên tích của chúng P = (n² – 2n + 2)(n² + 2n + 2) sẽ là một hợp số (số có nhiều hơn hai ước).

Ví dụ:
Nếu n = 2:
n² – 2n + 2 = 2² – 2(2) + 2 = 4 – 4 + 2 = 2.
n² + 2n + 2 = 2² + 2(2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10.
P = 2 * 10 = 20.

Nếu n = 3:
n² – 2n + 2 = 3² – 2(3) + 2 = 9 – 6 + 2 = 5.
n² + 2n + 2 = 3² + 2(3) + 2 = 9 + 6 + 2 = 17.
P = 5 * 17 = 85.

Kết luận

Qua quá trình phân tích và xét các trường hợp, chúng ta rút ra kết luận:
Chỉ có duy nhất giá trị n = 1 làm cho biểu thức P = n⁴ + 4 là một số nguyên tố.

Các em có câu hỏi nào không? Bài toán này giúp chúng ta ôn lại cách phân tích đa thức thành nhân tử và hiểu sâu hơn về tính chất của số nguyên tố. Hãy nhớ rằng, việc thử các giá trị nhỏ ban đầu thường giúp chúng ta có định hướng tốt hơn cho bài toán.