Chào các em! Cô là giáo viên Toán của trường mình đây. Bài toán hôm nay của chúng ta liên quan đến phương trình lượng giác và điều kiện về nghiệm. Các em chú ý lắng nghe và ghi chép lại nhé.

Đề bài cho phương trình: cos2x – (2m+1)cosx + m+1 = 0. Chúng ta cần tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (π/2; 3π/2).

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng theo cosx.
Chúng ta nhận thấy trong phương trình có cả cos2x và cosx. Để giải được phương trình này, chúng ta cần đưa về một loại hàm số lượng giác. Dựa vào công thức hạ bậc hoặc công thức nhân đôi, ta có công thức liên hệ giữa cos2x và cosx là:
cos2x = 2cos²x – 1.

Thay công thức này vào phương trình ban đầu, ta được:
(2cos²x – 1) – (2m+1)cosx + m+1 = 0

Bước 2: Rút gọn và đặt ẩn phụ.
Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức vừa nhận được:
2cos²x – 1 – 2m*cosx – cosx + m + 1 = 0
2cos²x – (2m+1)cosx + m = 0

Để phương trình trở nên đơn giản hơn, chúng ta sẽ đặt ẩn phụ. Đặt t = cosx.
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng khi đặt t = cosx, thì giá trị của t phải nằm trong một khoảng nhất định. Vì cosx luôn có giá trị từ -1 đến 1, nên ta có -1 ≤ t ≤ 1.

Thay t vào phương trình, ta được một phương trình bậc hai theo biến t:
2t² – (2m+1)t + m = 0

Bước 3: Xác định điều kiện của t ứng với khoảng nghiệm của x.
Đề bài yêu cầu phương trình có nghiệm thuộc khoảng (π/2; 3π/2). Chúng ta cần xem xét giá trị của cosx khi x nằm trong khoảng này.

Xét hàm số y = cosx trên khoảng (π/2; 3π/2).
Khi x = π/2, cosx = cos(π/2) = 0.
Khi x = 3π/2, cosx = cos(3π/2) = 0.
Trên khoảng (π/2; 3π/2), hàm số cosx đi từ 0 giảm xuống -1 (tại x = π) rồi tăng trở lại 0.
Do đó, khi x ∈ (π/2; 3π/2), thì cosx ∈ [-1; 0).
Lưu ý rằng giá trị 0 không bao gồm vì khoảng là mở.

Vậy, điều kiện của ẩn phụ t là -1 ≤ t < 0. Bước 4: Giải phương trình bậc hai theo t và tìm nghiệm t theo m. Ta có phương trình bậc hai: 2t² - (2m+1)t + m = 0. Để tìm nghiệm của phương trình này, chúng ta tính biệt thức delta (Δ): Δ = b² - 4ac = (-(2m+1))² - 4 2 m
Δ = (2m+1)² – 8m
Δ = 4m² + 4m + 1 – 8m
Δ = 4m² – 4m + 1
Δ = (2m – 1)²

Vì Δ = (2m – 1)² ≥ 0 với mọi m, nên phương trình luôn có nghiệm thực đối với t.
Các nghiệm của phương trình bậc hai là:
t₁ = [-b + √Δ] / 2a = [(2m+1) + √(2m-1)²] / (2 * 2) = [(2m+1) + |2m-1|] / 4
t₂ = [-b – √Δ] / 2a = [(2m+1) – √(2m-1)²] / (2 * 2) = [(2m+1) – |2m-1|] / 4

Chúng ta cần xét hai trường hợp cho |2m-1|:

Trường hợp 1: 2m – 1 ≥ 0, tức là m ≥ 1/2.
Khi đó, |2m-1| = 2m-1.
t₁ = [(2m+1) + (2m-1)] / 4 = (4m) / 4 = m
t₂ = [(2m+1) – (2m-1)] / 4 = (2m+1 – 2m + 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2

Trường hợp 2: 2m – 1 < 0, tức là m < 1/2. Khi đó, |2m-1| = -(2m-1) = 1-2m. t₁ = [(2m+1) + (1-2m)] / 4 = 2 / 4 = 1/2 t₂ = [(2m+1) - (1-2m)] / 4 = (2m+1 - 1 + 2m) / 4 = 4m / 4 = m Như vậy, hai nghiệm của phương trình bậc hai theo t luôn là m và 1/2 (không phụ thuộc vào trường hợp của m). Bước 5: Tìm m để có ít nhất một nghiệm t thỏa mãn điều kiện -1 ≤ t < 0. Chúng ta có hai nghiệm t là m và 1/2. Điều kiện cần là phương trình có nghiệm t thỏa mãn -1 ≤ t < 0. Xét nghiệm t = 1/2. Giá trị này không thỏa mãn điều kiện -1 ≤ t < 0 vì 1/2 ≥ 0. Vậy, để phương trình có nghiệm t thỏa mãn điều kiện, nghiệm t = m phải thỏa mãn điều kiện đó. Ta cần tìm m sao cho: -1 ≤ m < 0. Đây là điều kiện cần để phương trình có nghiệm thuộc khoảng đã cho. Bước 6: Kiểm tra lại điều kiện và kết luận. Chúng ta đã xác định rằng phương trình cos2x - (2m+1)cosx + m+1 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (π/2; 3π/2) khi và chỉ khi nghiệm t = cosx của phương trình bậc hai 2t² - (2m+1)t + m = 0 thỏa mãn điều kiện -1 ≤ t < 0. Chúng ta đã tìm được hai nghiệm của phương trình bậc hai là t = m và t = 1/2. Nghiệm t = 1/2 không bao giờ nằm trong khoảng [-1; 0). Do đó, điều kiện để phương trình có nghiệm thuộc khoảng đã cho là nghiệm còn lại, t = m, phải thỏa mãn: -1 ≤ m < 0. Vậy, các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (π/2; 3π/2) là -1 ≤ m < 0. Các em thấy đấy, bài toán này đòi hỏi chúng ta phải kết hợp việc giải phương trình lượng giác với việc phân tích điều kiện của ẩn phụ. Quan trọng là phải xác định đúng khoảng giá trị của cosx tương ứng với khoảng giá trị của x. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi cô nhé! Chúc các em học tốt.