Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị liên quan đến lượng giác trong chương trình Toán lớp 10 của chúng ta. Bài toán này yêu cầu chúng ta tính giá trị của \(\sin \alpha – \cos \alpha\) khi biết \(\sin \alpha + \cos \alpha = m\).

Các em chú ý quan sát, đề bài cho chúng ta biết một biểu thức liên quan đến \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\), và yêu cầu chúng ta tính một biểu thức khác. Khi gặp dạng bài này, chúng ta thường nghĩ đến việc bình phương các biểu thức để tìm ra mối liên hệ.

Chúng ta bắt đầu nhé!

Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2\) và \((\sin \alpha – \cos \alpha)^2\).

Ta biết công thức khai triển của bình phương một tổng và bình phương một hiệu:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)

Áp dụng vào bài toán của chúng ta, với \(a = \sin \alpha\) và \(b = \cos \alpha\):

Ta có:
\( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)

Và:
\( (\sin \alpha – \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha – 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)

Các em còn nhớ một công thức lượng giác cơ bản mà chúng ta đã học không? Đó là:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Chúng ta sẽ sử dụng công thức này để đơn giản hóa biểu thức.

Thay \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) vào hai biểu thức trên:

\( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
\( (\sin \alpha – \cos \alpha)^2 = 1 – 2 \sin \alpha \cos \alpha \)

Bây giờ, các em hãy nhìn vào hai biểu thức này. Chúng ta có thể thấy mối liên hệ giữa chúng là \(2 \sin \alpha \cos \alpha\).

Để làm nổi bật mối liên hệ này, chúng ta có thể biến đổi như sau:

Từ \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha \), ta có:
\( 2 \sin \alpha \cos \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 – 1 \)

Bây giờ, chúng ta thay biểu thức này của \(2 \sin \alpha \cos \alpha\) vào biểu thức \( (\sin \alpha – \cos \alpha)^2 \):

\( (\sin \alpha – \cos \alpha)^2 = 1 – [(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 – 1] \)
\( (\sin \alpha – \cos \alpha)^2 = 1 – (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + 1 \)
\( (\sin \alpha – \cos \alpha)^2 = 2 – (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 \)

Đây là một mối liên hệ rất quan trọng!

Bước 2: Thay giá trị đã cho của đề bài vào công thức vừa tìm được.

Đề bài cho chúng ta biết \( \sin \alpha + \cos \alpha = m \).
Chúng ta sẽ thay giá trị này vào công thức chúng ta vừa suy ra:

\( (\sin \alpha – \cos \alpha)^2 = 2 – (m)^2 \)
\( (\sin \alpha – \cos \alpha)^2 = 2 – m^2 \)

Bước 3: Tìm giá trị của \(\sin \alpha – \cos \alpha\).

Từ \( (\sin \alpha – \cos \alpha)^2 = 2 – m^2 \), để tìm được \(\sin \alpha – \cos \alpha\), chúng ta sẽ lấy căn bậc hai của hai vế.

Khi lấy căn bậc hai của một bình phương, chúng ta cần lưu ý đến dấu của biểu thức bên trong. Tuy nhiên, ở đây, đề bài không cho biết \(\alpha\) thuộc góc phần tư nào, nên \(\sin \alpha – \cos \alpha\) có thể dương hoặc âm. Do đó, chúng ta sẽ để dấu căn và dấu cộng trừ.

\( \sin \alpha – \cos \alpha = \pm \sqrt{2 – m^2} \)

Như vậy, chúng ta đã tính được \(\sin \alpha – \cos \alpha\) theo \(m\).

Lưu ý thêm cho các em:

Điều kiện để \( \sqrt{2 – m^2} \) có nghĩa là \( 2 – m^2 \geq 0 \), tức là \( m^2 \leq 2 \), hay \( -\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2} \). Giá trị của \(m\) luôn nằm trong khoảng này vì ta biết \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha\). Do \( -1 \leq \sin \alpha \cos \alpha \leq \frac{1}{2} \), nên \( 0 \leq (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 \leq 2 \), suy ra \( -\sqrt{2} \leq \sin \alpha + \cos \alpha \leq \sqrt{2} \).

Vậy, đáp án cuối cùng của chúng ta là:
\( \sin \alpha – \cos \alpha = \pm \sqrt{2 – m^2} \)

Các em thấy không, bài toán này không quá khó nếu chúng ta biết cách vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác cơ bản. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để làm quen nhé!