Chào các em, cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập này theo từng bước như chúng ta vẫn làm trên lớp nhé. Đây là một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Lượng giác lớp 11.

Bước 1: Tìm giá trị của \( \sin 2a \)

Để tìm \( \sin 2a \), chúng ta sẽ xuất phát từ giả thiết của bài toán:
\[ \sin a + \cos a = \frac{5}{4} \]
Chúng ta biết công thức nhân đôi là \( \sin 2a = 2 \sin a \cos a \). Để làm xuất hiện biểu thức \( 2 \sin a \cos a \), ta sẽ bình phương hai vế của giả thiết:
\[ (\sin a + \cos a)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 \]
Khai triển vế trái, ta được:
\[ \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a = \frac{25}{16} \]
Bây giờ, các em hãy nhóm \( \sin^2 a \) và \( \cos^2 a \) lại với nhau. Ta áp dụng công thức lượng giác cơ bản \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).
\[ (\sin^2 a + \cos^2 a) + 2 \sin a \cos a = \frac{25}{16} \]
\[ 1 + 2 \sin a \cos a = \frac{25}{16} \]
Thay \( 2 \sin a \cos a \) bằng \( \sin 2a \), ta có:
\[ 1 + \sin 2a = \frac{25}{16} \]
Từ đây, ta dễ dàng tìm được \( \sin 2a \):
\[ \sin 2a = \frac{25}{16} – 1 \]
\[ \sin 2a = \frac{25}{16} – \frac{16}{16} \]
\[ \sin 2a = \frac{9}{16} \]
Vậy, chúng ta đã tìm được giá trị đầu tiên.

Bước 2: Tìm giá trị của \( \cos 2a \)

Để tìm \( \cos 2a \), chúng ta có nhiều công thức. Ở đây, một cách tiếp cận tự nhiên là sử dụng công thức \( \cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a \).
Ta có thể biến đổi công thức này thành:
\[ \cos 2a = (\cos a – \sin a)(\cos a + \sin a) \]
Chúng ta đã biết \( \cos a + \sin a = \frac{5}{4} \). Vậy bây giờ ta cần tìm \( \cos a – \sin a \).

Hãy xét bình phương của \( (\cos a – \sin a) \):
\[ (\cos a – \sin a)^2 = \cos^2 a – 2 \sin a \cos a + \sin^2 a \]
\[ (\cos a – \sin a)^2 = (\cos^2 a + \sin^2 a) – 2 \sin a \cos a \]
\[ (\cos a – \sin a)^2 = 1 – \sin 2a \]
Sử dụng kết quả \( \sin 2a = \frac{9}{16} \) từ Bước 1, ta có:
\[ (\cos a – \sin a)^2 = 1 – \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \]
Khai căn hai vế, ta thu được hai trường hợp:
\[ \cos a – \sin a = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \quad \text{hoặc} \quad \cos a – \sin a = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4} \]
Vì đề bài không cho thêm điều kiện về góc \( a \), chúng ta phải xét cả hai trường hợp này.

Trường hợp 1: Nếu \( \cos a – \sin a = \frac{\sqrt{7}}{4} \)
\[ \cos 2a = (\cos a – \sin a)(\cos a + \sin a) = \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right) \left(\frac{5}{4}\right) = \frac{5\sqrt{7}}{16} \]
Trường hợp 2: Nếu \( \cos a – \sin a = -\frac{\sqrt{7}}{4} \)
\[ \cos 2a = (\cos a – \sin a)(\cos a + \sin a) = \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right) \left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{5\sqrt{7}}{16} \]
Vậy, \( \cos 2a \) có hai giá trị có thể nhận.

Bước 3: Tìm giá trị của \( \tan 2a \)

Chúng ta sử dụng công thức \( \tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} \).
Vì có hai giá trị của \( \cos 2a \), ta cũng sẽ có hai giá trị tương ứng của \( \tan 2a \). (Lưu ý điều kiện \( \cos 2a \neq 0 \) luôn thỏa mãn vì các giá trị ta tìm được đều khác 0).

Trường hợp 1: Với \( \cos 2a = \frac{5\sqrt{7}}{16} \)
\[ \tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{9/16}{5\sqrt{7}/16} = \frac{9}{5\sqrt{7}} = \frac{9\sqrt{7}}{35} \]
Trường hợp 2: Với \( \cos 2a = -\frac{5\sqrt{7}}{16} \)
\[ \tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{9/16}{-5\sqrt{7}/16} = -\frac{9}{5\sqrt{7}} = -\frac{9\sqrt{7}}{35} \]

KẾT LUẬN

Vậy, từ giả thiết \( \sin a + \cos a = \frac{5}{4} \), ta tìm được các kết quả sau:

Giá trị của \( \sin 2a \) là duy nhất:
\[ \sin 2a = \frac{9}{16} \]
Bài toán có hai bộ kết quả tương ứng cho \( \cos 2a \) và \( \tan 2a \):

Bộ kết quả 1:
\[ \cos 2a = \frac{5\sqrt{7}}{16} \]
\[ \tan 2a = \frac{9\sqrt{7}}{35} \]
Bộ kết quả 2:
\[ \cos 2a = -\frac{5\sqrt{7}}{16} \]
\[ \tan 2a = -\frac{9\sqrt{7}}{35} \]

Hy vọng cách giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ bài toán. Chúc các em học tốt