Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác rất thú vị trong chương trình Toán lớp 10 mới. Bài toán này giúp chúng ta củng cố các mối liên hệ cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc. Chúng ta bắt đầu nhé!

Đề bài: Cho sinx = 3/5 ( với 0° < x < 90° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại.

Chúng ta biết rằng góc x nằm trong khoảng từ 0° đến 90°, tức là góc x thuộc góc phần tư thứ nhất. Ở góc phần tư này, tất cả các giá trị lượng giác (sin, cos, tan, cot) đều dương. Đây là một thông tin rất quan trọng để chúng ta kiểm tra lại kết quả của mình.

Bước 1: Tìm giá trị của cosx.

Để tìm cosx, chúng ta sẽ sử dụng công thức lượng giác cơ bản và quen thuộc nhất: bình phương của sin và cos của cùng một góc luôn bằng 1.

Công thức đó là: \( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)

Tại sao chúng ta lại dùng công thức này? Bởi vì nó cho phép chúng ta tìm một trong hai giá trị sinx hoặc cosx nếu biết giá trị còn lại.

Bây giờ, chúng ta thay giá trị sinx đã cho vào công thức:

\( (\frac{3}{5})^2 + \cos^2{x} = 1 \)

\( \frac{9}{25} + \cos^2{x} = 1 \)

Để tìm \( \cos^2{x} \), chúng ta chuyển vế:

\( \cos^2{x} = 1 – \frac{9}{25} \)

\( \cos^2{x} = \frac{25}{25} – \frac{9}{25} \)

\( \cos^2{x} = \frac{16}{25} \)

Bây giờ, để tìm cosx, chúng ta lấy căn bậc hai của cả hai vế:

\( \cos{x} = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} \)

\( \cos{x} = \pm \frac{4}{5} \)

Như đã phân tích ở trên, góc x nằm trong khoảng từ 0° đến 90° (góc phần tư thứ nhất), nên giá trị cosx phải là số dương.

Do đó, chúng ta chọn giá trị dương:

cosx = 4/5

Bước 2: Tìm giá trị của tanx.

Để tìm tanx, chúng ta sử dụng định nghĩa của tang trong tam giác vuông hoặc công thức liên hệ giữa sin, cos và tan.

Công thức đó là: \( \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \)

Tại sao ta dùng công thức này? Vì nó cho phép ta tính tanx một cách trực tiếp khi đã biết sinx và cosx.

Chúng ta đã có sinx = 3/5 và cosx = 4/5. Thay vào công thức:

\( \tan{x} = \frac{3/5}{4/5} \)

\( \tan{x} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} \)

\( \tan{x} = \frac{3}{4} \)

tanx = 3/4

Bước 3: Tìm giá trị của cotx.

Tương tự như tanx, chúng ta có thể tìm cotx bằng định nghĩa hoặc công thức liên hệ.

Công thức đó là: \( \cot{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \)

Hoặc một cách khác, cotx là nghịch đảo của tanx: \( \cot{x} = \frac{1}{\tan{x}} \)

Chúng ta sẽ dùng công thức thứ hai vì nó đơn giản hơn khi đã có tanx.

Ta có tanx = 3/4. Vậy:

\( \cot{x} = \frac{1}{3/4} \)

\( \cot{x} = \frac{4}{3} \)

cotx = 4/3

Kết luận:

Vậy, với sinx = 3/5 và 0° < x < 90°, các giá trị lượng giác còn lại là:

• cosx = 4/5
• tanx = 3/4
• cotx = 4/3

Tất cả các giá trị này đều dương, phù hợp với điều kiện của góc x. Các em thấy không, chỉ với một vài công thức cơ bản, chúng ta đã giải quyết được bài toán một cách dễ dàng. Hãy ghi nhớ các công thức này và luyện tập thật nhiều nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!