Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài tập lượng giác rất cơ bản nhưng cũng vô cùng quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về các công thức lượng giác cơ bản trong chương trình Toán 10. Đây là dạng bài mà chúng ta sẽ thường xuyên gặp trong các bài kiểm tra và thi cử đấy!

Phân tích đề bài:

Chúng ta được cho một mối quan hệ giữa tổng của sinx và cosx: \( \sin x + \cos x = \frac{1}{3} \).
Yêu cầu là tính giá trị của tích sinx và cosx: \( D = \sin x \cdot \cos x \).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm cách liên hệ giữa tổng \( \sin x + \cos x \) và tích \( \sin x \cdot \cos x \). Trong lượng giác, một trong những công cụ mạnh mẽ nhất để làm điều này là sử dụng phép bình phương và công thức lượng giác cơ bản.

Các công thức cần nhớ:

1. Hằng đẳng thức đáng nhớ: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
2. Công thức lượng giác cơ bản: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)

Bây giờ chúng ta cùng bắt tay vào giải quyết bài toán nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Bình phương hai vế của biểu thức đã cho

Từ giả thiết, chúng ta có:

\[ \sin x + \cos x = \frac{1}{3} \]

Để tạo ra một biểu thức có chứa tích \( \sin x \cdot \cos x \), chúng ta sẽ tiến hành bình phương cả hai vế của đẳng thức trên. Việc bình phương này không làm thay đổi bản chất của đẳng thức, nhưng giúp chúng ta khai thác được mối liên hệ giữa tổng và tích.

Bình phương hai vế, ta được:

\[ (\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \]

Bước 2: Khai triển vế trái và tính giá trị vế phải

Áp dụng hằng đẳng thức \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) cho vế trái của phương trình, với \( a = \sin x \) và \( b = \cos x \). Đồng thời, ta tính giá trị của vế phải.

\[ \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{9} \]

Bước 3: Áp dụng công thức lượng giác cơ bản

Ở bước này, các em có thể thấy trong vế trái xuất hiện hai số hạng là \( \sin^2 x \) và \( \cos^2 x \). Chắc hẳn các em còn nhớ công thức lượng giác cơ bản rất quan trọng này đúng không nào?

Ta có: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

Thay giá trị này vào phương trình ở Bước 2, ta được:

\[ 1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{9} \]

Bước 4: Rút gọn và tìm giá trị của biểu thức D

Mục tiêu của chúng ta là tìm giá trị của \( D = \sin x \cdot \cos x \). Từ phương trình vừa thu được, chúng ta sẽ chuyển số 1 sang vế phải để cô lập cụm \( 2 \sin x \cos x \).

\[ 2 \sin x \cos x = \frac{1}{9} – 1 \]

Tiếp theo, chúng ta thực hiện phép trừ ở vế phải:

\[ 2 \sin x \cos x = \frac{1}{9} – \frac{9}{9} \]
\[ 2 \sin x \cos x = -\frac{8}{9} \]

Cuối cùng, để tìm \( D = \sin x \cos x \), ta chia cả hai vế của phương trình cho 2:

\[ \sin x \cos x = -\frac{8}{9} \div 2 \]
\[ \sin x \cos x = -\frac{8}{18} \]

Rút gọn phân số, ta được:

\[ \sin x \cos x = -\frac{4}{9} \]

Vậy, giá trị của biểu thức \( D = \sin x \cdot \cos x \) là \( -\frac{4}{9} \).

Kết luận:

Qua bài tập này, chúng ta đã ôn lại và áp dụng thành thạo hai công thức rất quan trọng trong lượng giác: hằng đẳng thức \( (a+b)^2 \) và công thức cơ bản \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Đây là kỹ năng nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn sau này. Các em hãy ghi nhớ phương pháp này nhé!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!