Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập này. Đây là một dạng bài tập quen thuộc về quỹ tích điểm sử dụng phương pháp véc-tơ, rất hay gặp trong chương trình Toán 10. Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ biến đổi đồng thời cả hai vế của đẳng thức véc-tơ đã cho.

Bước 1: Rút gọn vế phải của đẳng thức

Trước hết, chúng ta hãy xem xét vế phải: \( |\vec{MB} – \vec{MA}| \)
Áp dụng quy tắc hiệu hai véc-tơ (hay quy tắc 3 điểm), ta có:
\( \vec{MB} – \vec{MA} = \vec{AM} + \vec{MB} = \vec{AB} \)

Do đó, độ lớn của vế phải là: \( |\vec{MB} – \vec{MA}| = |\vec{AB}| \)
Theo đề bài, tam giác ABC là tam giác đều cạnh a. Vì vậy, độ dài đoạn thẳng AB bằng a.
Suy ra: \( |\vec{AB}| = AB = a \)

Như vậy, đẳng thức ban đầu có thể viết lại là: \( |2\vec{MA} + 3\vec{MB} + 4\vec{MC}| = a \)

Bước 2: Rút gọn vế trái của đẳng thức

Bây giờ, chúng ta sẽ xử lý biểu thức véc-tơ ở vế trái: \( 2\vec{MA} + 3\vec{MB} + 4\vec{MC} \)
Đây là một dạng biểu thức véc-tơ quen thuộc. Để thu gọn nó, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “tâm tỉ cự”. Ta sẽ tìm một điểm I cố định thỏa mãn hệ thức sau:
\( 2\vec{IA} + 3\vec{IB} + 4\vec{IC} = \vec{0} \)

Vì \( 2 + 3 + 4 = 9 \neq 0 \), nên luôn tồn tại duy nhất một điểm I thỏa mãn điều kiện trên. Do các điểm A, B, C là các đỉnh của tam giác cố định nên điểm I cũng là một điểm cố định.

Bây giờ, ta sẽ biến đổi biểu thức véc-tơ ở vế trái bằng cách chèn điểm I vào mỗi véc-tơ (quy tắc chèn điểm):
\[ 2\vec{MA} + 3\vec{MB} + 4\vec{MC} \]
\[ = 2(\vec{MI} + \vec{IA}) + 3(\vec{MI} + \vec{IB}) + 4(\vec{MI} + \vec{IC}) \]
Ta nhóm các véc-tơ \( \vec{MI} \) lại và nhóm các véc-tơ liên quan đến I lại:
\[ = (2\vec{MI} + 3\vec{MI} + 4\vec{MI}) + (2\vec{IA} + 3\vec{IB} + 4\vec{IC}) \]
Theo cách ta chọn điểm I ở trên, biểu thức trong ngoặc thứ hai bằng \( \vec{0} \). Do đó:
\[ = 9\vec{MI} + \vec{0} \]
\[ = 9\vec{MI} \]
Vậy, vế trái của đẳng thức trở thành: \( |2\vec{MA} + 3\vec{MB} + 4\vec{MC}| = |9\vec{MI}| = 9|\vec{MI}| = 9MI \)

Bước 3: Tổng hợp và tìm bán kính R

Kết hợp kết quả từ hai bước trên, đẳng thức ban đầu của chúng ta tương đương với:
\( 9MI = a \)

Từ đó suy ra:
\( MI = \frac{a}{9} \)

Đẳng thức này cho chúng ta biết rằng, điểm M luôn cách điểm cố định I một khoảng không đổi là \( \frac{a}{9} \).
Theo định nghĩa về đường tròn, tập hợp các điểm M là một đường tròn cố định có tâm là điểm I và bán kính \( R = \frac{a}{9} \).

Kết luận

Vậy, bán kính R của đường tròn cố định cần tìm là \( R = \frac{a}{9} \).