Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về tọa độ trong không gian, cụ thể là tìm tọa độ chân đường cao hạ từ một đỉnh của tam giác. Các em hãy chú ý theo dõi và ghi chép lại các bước nhé.

Đề bài cho tam giác ABC với tọa độ các đỉnh như sau: A (-1;2), B (0;3), C (5;-2). Chúng ta cần tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại khái niệm đường cao trong tam giác. Đường cao hạ từ một đỉnh của tam giác là đoạn thẳng đi qua đỉnh đó và vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện).

Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Như vậy, AH vuông góc với BC.

Chúng ta sẽ thực hiện bài toán theo các bước sau:

Bước 1: Tìm phương trình đường thẳng BC.

Để tìm phương trình đường thẳng BC, chúng ta cần vectơ chỉ phương của đường thẳng BC. Vectơ chỉ phương của đường thẳng BC chính là vectơ \(\vec{BC}\).

Ta có:
\(\vec{BC} = (C_x – B_x; C_y – B_y) = (5 – 0; -2 – 3) = (5; -5)\).

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC sẽ vuông góc với \(\vec{BC}\). Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{BC} = (a; b)\) sao cho \(\vec{n}_{BC} \cdot \vec{BC} = 0\).
Lấy \(\vec{n}_{BC} = (1; 1)\) vì \(1 \cdot 5 + 1 \cdot (-5) = 0\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC có dạng \(ax + by + c = 0\). Sử dụng vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{BC} = (1; 1)\) và điểm B(0;3) (hoặc C(5;-2)) thuộc đường thẳng BC, ta có phương trình:
\(1(x – 0) + 1(y – 3) = 0\)
\(x + y – 3 = 0\)
Vậy, phương trình đường thẳng BC là \(x + y – 3 = 0\).

Bước 2: Tìm phương trình đường thẳng AH.

Đường thẳng AH đi qua đỉnh A(-1;2) và vuông góc với đường thẳng BC.
Vì AH vuông góc với BC, nên vectơ chỉ phương của BC chính là vectơ pháp tuyến của AH.
Ta có vectơ chỉ phương của BC là \(\vec{BC} = (5; -5)\). Ta có thể rút gọn vectơ này thành \(\vec{u}_{BC} = (1; -1)\) để dễ làm việc hơn.
Vậy, vectơ pháp tuyến của đường thẳng AH là \(\vec{n}_{AH} = (1; -1)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng AH có dạng \(ax + by + c = 0\). Sử dụng vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{AH} = (1; -1)\) và điểm A(-1;2) thuộc đường thẳng AH, ta có phương trình:
\(1(x – (-1)) + (-1)(y – 2) = 0\)
\(x + 1 – y + 2 = 0\)
\(x – y + 3 = 0\)
Vậy, phương trình đường thẳng AH là \(x – y + 3 = 0\).

Bước 3: Tìm tọa độ chân đường cao H.

Chân đường cao H là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng AH. Do đó, tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng này:

\(\begin{cases} x + y – 3 = 0 \\ x – y + 3 = 0 \end{cases}\)

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng hoặc thế.

Cộng hai phương trình vế theo vế:
\((x + y – 3) + (x – y + 3) = 0 + 0\)
\(2x = 0\)
\(x = 0\)

Thay \(x = 0\) vào phương trình thứ nhất:
\(0 + y – 3 = 0\)
\(y = 3\)

Vậy, tọa độ của điểm H là (0;3).

Kiểm tra lại:
Điểm H(0;3) có thuộc đường thẳng BC không? Thay vào phương trình \(x + y – 3 = 0\): \(0 + 3 – 3 = 0\). Đúng.
Điểm H(0;3) có thuộc đường thẳng AH không? Thay vào phương trình \(x – y + 3 = 0\): \(0 – 3 + 3 = 0\). Đúng.
Vectơ \(\vec{AH} = (0 – (-1); 3 – 2) = (1; 1)\).
Vectơ \(\vec{BC} = (5; -5)\).
Tích vô hướng của hai vectơ này là \(\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 1 \cdot 5 + 1 \cdot (-5) = 5 – 5 = 0\). Điều này chứng tỏ AH vuông góc với BC.

Trong trường hợp này, ta nhận thấy điểm H trùng với điểm B. Điều này có nghĩa là góc ABC là góc vuông.

Kết luận: Tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC là H(0;3).

Các em đã hiểu rõ các bước thực hiện chưa? Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, hãy mạnh dạn hỏi nhé.