Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán hình học khá thú vị về tam giác vuông và tia phân giác. Các em hãy cùng thầy theo dõi và ghi chép lại các bước giải nhé.

Dữ kiện bài toán:
* Tam giác ABC có góc A = 90 độ.
* E là điểm trên cạnh BC sao cho BA = BE.
* BD là tia phân giác của góc B, cắt AC tại D.

Yêu cầu:
a. Chứng minh tam giác ABD = EBD.
b. Chứng minh DA = DE.
c. Tính số đo góc BED.
d. Xác định độ lớn góc B để góc EDB = góc EDC.

—

Giải:

a. Chứng minh tam giác ABD = EBD

Để chứng minh hai tam giác bằng nhau, chúng ta sẽ dựa vào các trường hợp đã học như c.c.c, c.g.c, g.c.g, g.g.c.
Xét tam giác ABD và tam giác EBD, chúng ta có:
* BA = BE (theo giả thiết).
* Góc ABD = Góc EBD (vì BD là tia phân giác của góc B, theo giả thiết).
* Cạnh BD là cạnh chung của hai tam giác.

Do đó, theo trường hợp c.g.c (cạnh-góc-cạnh), ta có:
tam giác ABD = tam giác EBD.

—

b. Chứng minh DA = DE

Từ kết quả câu a, tam giác ABD = tam giác EBD, chúng ta có thể suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.
Cụ thể, cạnh DA của tam giác ABD sẽ tương ứng với cạnh DE của tam giác EBD.
Do đó, DA = DE.

—

c. Tính số đo góc BED

Chúng ta đã chứng minh được tam giác ABD = tam giác EBD.
Từ sự bằng nhau này, ta suy ra các góc tương ứng bằng nhau. Góc BAD của tam giác ABD sẽ tương ứng với góc BED của tam giác EBD.
Ta có góc BAD là một phần của tam giác ABC. Theo giả thiết, tam giác ABC có góc A = 90 độ. Do đó, góc BAD = 90 độ.
Vì tam giác ABD = tam giác EBD, nên góc BED = góc BAD.
Vậy, góc BED = 90 độ.

—

d. Xác định độ lớn góc B để góc EDB = góc EDC

Để góc EDB bằng góc EDC, chúng ta cần xem xét vị trí của các điểm và các tam giác liên quan.
Ta biết rằng D nằm trên AC. Góc ADB và góc EDC là hai góc kề bù nhau vì A, D, C thẳng hàng và E nằm trên BC.
Tuy nhiên, ở đây chúng ta đang xét góc EDB và góc EDC.

Chúng ta đã có:
* Tam giác ABD = tam giác EBD.
* Góc ADB = góc EDB (từ sự bằng nhau của hai tam giác).

Bây giờ, xét điểm D nằm trên AC. Góc ADB và góc EDC có mối quan hệ gì?
E nằm trên BC, D nằm trên AC.

Để góc EDB = góc EDC, chúng ta cần phân tích tam giác EDC.
Ta có:
* Góc CED là góc ngoài của tam giác BDE tại đỉnh E.
* Góc BAD = 90 độ.
* Góc ABD = Góc EBD. Gọi số đo góc này là \(\beta\). Vậy góc ABC = 2\(\beta\).
* Trong tam giác ABD vuông tại A, ta có: góc ADB = \(180^\circ – 90^\circ – \beta = 90^\circ – \beta\).
* Từ tam giác ABD = tam giác EBD, ta có góc EDB = góc ADB = \(90^\circ – \beta\).

Bây giờ xét góc EDC.
Trong tam giác ABC, ta có tổng ba góc: góc A + góc B + góc C = \(180^\circ\).
\(90^\circ + 2\beta +\) góc C = \(180^\circ\).
Góc C = \(180^\circ – 90^\circ – 2\beta = 90^\circ – 2\beta\).

Xét tam giác EDC:
* Góc ECD = Góc C = \(90^\circ – 2\beta\).
* Góc CED: Ta đã chứng minh góc BED = 90 độ. Vậy góc CED là góc kề bù với góc BED, nên góc CED = \(180^\circ – 90^\circ = 90^\circ\).
* Tổng ba góc trong tam giác EDC: góc EDC + góc ECD + góc CED = \(180^\circ\).
* góc EDC + \((90^\circ – 2\beta)\) + \(90^\circ\) = \(180^\circ\).
* góc EDC + \(180^\circ – 2\beta\) = \(180^\circ\).
* góc EDC = \(2\beta\).

Yêu cầu là góc EDB = góc EDC.
Chúng ta đã có:
* góc EDB = \(90^\circ – \beta\).
* góc EDC = \(2\beta\).

Để hai góc này bằng nhau, ta có phương trình:
\(90^\circ – \beta = 2\beta\)
\(90^\circ = 3\beta\)
\(\beta = \frac{90^\circ}{3} = 30^\circ\).

Góc B của tam giác ABC là góc ABC, và theo cách gọi của chúng ta thì góc ABC = 2\(\beta\).
Vậy, góc B = \(2 \times 30^\circ = 60^\circ\).

Kiểm tra lại:
Nếu góc B = \(60^\circ\), thì \(\beta = 30^\circ\).
Góc ADB = \(90^\circ – 30^\circ = 60^\circ\).
Góc EDB = \(60^\circ\).
Góc C = \(90^\circ – 2 \times 30^\circ = 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ\).
Trong tam giác EDC: góc CED = \(90^\circ\), góc ECD = \(30^\circ\).
Góc EDC = \(180^\circ – 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ\).
Như vậy, góc EDB = góc EDC = \(60^\circ\).

Vậy, độ lớn góc B để góc EDB = góc EDC là 60 độ.

—

Các em thấy không, khi chúng ta phân tích từng bước một cách cẩn thận, bài toán sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Các em về nhà xem lại bài và làm thêm các bài tập tương tự nhé.