Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về vectơ rất thú vị trong chương trình Toán lớp 10. Bài toán này liên quan đến tam giác đều và phép cộng vectơ.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích đề bài và tìm ra lời giải chi tiết, từng bước một, dựa trên kiến thức đã học trong Sách giáo khoa nhé.

Đề bài: Cho tam giác ABC đều cạnh 5. Tính độ dài của vectơ AB + CB.

Trước hết, các em hãy nhớ lại khái niệm về vectơ. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối. Độ dài của vectơ chính là độ dài của đoạn thẳng tương ứng.

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định thông tin đã cho.

Chúng ta có một tam giác ABC đều. Điều này có nghĩa là:
– Cả ba cạnh AB, BC, CA đều có độ dài bằng nhau.
– Mỗi góc trong tam giác ABC đều bằng 60 độ.

Đề bài cho biết cạnh của tam giác đều là 5. Vậy, ta có:
AB = BC = CA = 5.

Chúng ta cần tính độ dài của vectơ AB cộng với vectơ CB. Ký hiệu độ dài của một vectơ \(\vec{v}\) là \(|\vec{v}|\). Vậy, chúng ta cần tính \(| \vec{AB} + \vec{CB} |\).

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng vectơ.

Để cộng hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{CB}\), chúng ta cần xem xét quy tắc cộng vectơ. Có hai quy tắc chính thường được sử dụng: quy tắc ba điểm (quy tắc hình bình hành) và quy tắc hiệu hai vectơ.

Ở đây, hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{CB}\) có điểm cuối của vectơ thứ nhất và điểm đầu của vectơ thứ hai không trùng nhau. Tuy nhiên, chúng ta có thể biến đổi \(\vec{CB}\) thành một vectơ khác để thuận tiện cho việc áp dụng quy tắc.

Chúng ta biết rằng \(\vec{CB} = -\vec{BC}\).
Do đó, vectơ cần tính là \(\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} – \vec{BC}\).

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc trừ hai vectơ: \(\vec{u} – \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\).
Vậy, \(\vec{AB} – \vec{BC} = \vec{AB} + (-\vec{BC})\).
Vì \(-\vec{BC} = \vec{CB}\), chúng ta quay trở lại biểu thức ban đầu.

Chúng ta hãy thử một cách tiếp cận khác. Ta có thể viết lại \(\vec{CB}\) thành \(\vec{BC}\) bằng cách đổi chiều của vectơ:
\(\vec{CB} = – \vec{BC}\)

Vậy, ta cần tính độ dài của vectơ \(\vec{AB} + (-\vec{BC})\).
Biểu thức trở thành: \(\vec{AB} – \vec{BC}\).

Tuy nhiên, để cộng \(\vec{AB}\) và \(\vec{CB}\), chúng ta có thể sử dụng quy tắc cộng vectơ theo điểm đầu. Ta thấy rằng vectơ \(\vec{CB}\) có điểm cuối là B và điểm đầu là C. Vectơ \(\vec{AB}\) có điểm đầu là A và điểm cuối là B. Điểm cuối của \(\vec{AB}\) (là B) trùng với điểm cuối của \(\vec{CB}\) (là B).

Hãy nhìn kỹ lại: \(\vec{AB} + \vec{CB}\). Điểm cuối của \(\vec{AB}\) là B, điểm đầu của \(\vec{CB}\) là C.
Chúng ta có thể đổi chỗ hai vectơ trong phép cộng: \(\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{CB} + \vec{AB}\).
Bây giờ, điểm cuối của \(\vec{CB}\) là B, và điểm đầu của \(\vec{AB}\) là A. Hai điểm này không trùng nhau.

Chúng ta hãy sử dụng tính chất của tam giác đều.
\(\vec{CB}\) có hướng từ C đến B. \(\vec{AB}\) có hướng từ A đến B.
Vì tam giác ABC đều, vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{CB}\) không song song cùng hướng hoặc ngược hướng.

Một cách tiếp cận hữu ích là đưa về quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc ba điểm.
Ta có thể viết lại \(\vec{CB}\) thành \(\vec{DB}\) với D là một điểm nào đó sao cho \(\vec{DB} = \vec{CB}\).
Hoặc ta có thể viết \(\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB}\)… điều này không giúp ích nhiều.

Hãy tập trung vào điểm chung. Vectơ \(\vec{AB}\) có điểm cuối B. Vectơ \(\vec{CB}\) có điểm đầu C.
Để cộng hai vectơ, chúng ta thường muốn chúng có chung điểm đầu hoặc điểm cuối.

Ta có thể biến đổi \(\vec{CB}\) thành \(-\vec{BC}\).
Khi đó, ta cần tính độ dài của \(\vec{AB} – \vec{BC}\).
Áp dụng quy tắc trừ vectơ, \(\vec{AB} – \vec{BC} = \vec{AB} + (-\vec{BC}) = \vec{AB} + \vec{CB}\).
Đây là biểu thức ban đầu.

Hãy thử sử dụng quy tắc hình bình hành. Để áp dụng quy tắc hình bình hành, hai vectơ cần có chung điểm đầu.
Ta có thể viết lại:
\(\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} – \vec{BC}\) (vì \(\vec{CB} = -\vec{BC}\))

Đây không phải là dạng để áp dụng quy tắc hình bình hành. Quy tắc hình bình hành có dạng \(\vec{u} + \vec{v}\) khi \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) có chung điểm đầu.

Hãy thử biến đổi một chút:
\(\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{BC} – \vec{BC} + \vec{CB}\) … điều này quá phức tạp.

Chúng ta có thể sử dụng tính chất hình học.
Vẽ tam giác ABC đều.
Vectơ \(\vec{AB}\) có hướng từ A đến B.
Vectơ \(\vec{CB}\) có hướng từ C đến B.

Chúng ta có thể đặt điểm gốc của cả hai vectơ tại một điểm chung.
Ta có thể viết \(\vec{AB} = \vec{VB} – \vec{VA}\) (trong hệ tọa độ). Nhưng chúng ta đang làm việc với hình học thuần túy.

Hãy quay lại \(\vec{CB} = -\vec{BC}\).
Vậy, ta cần tính \(|\vec{AB} – \vec{BC}|\).

Trong tam giác ABC, ta có thể dùng quy tắc hình bình hành nếu hai vectơ có chung điểm đầu.
Giả sử ta xét \(\vec{CA} + \vec{CB}\). Khi đó, chúng sẽ tạo thành đường chéo của hình bình hành được tạo bởi \(\vec{CA}\) và \(\vec{CB}\).

Với bài toán này, chúng ta có \(\vec{AB} + \vec{CB}\).
Ta có thể viết lại \(\vec{CB}\) là \(-\vec{BC}\).
Vậy, ta cần tính \(|\vec{AB} – \vec{BC}|\).

Hãy nhớ lại một tính chất quan trọng của vectơ trong tam giác.
Trong tam giác ABC, với một điểm O bất kỳ, ta có:
\(\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA}\)
\(\vec{CB} = \vec{OB} – \vec{OC}\)

Vậy, \(\vec{AB} + \vec{CB} = (\vec{OB} – \vec{OA}) + (\vec{OB} – \vec{OC}) = 2\vec{OB} – \vec{OA} – \vec{OC}\).
Điều này vẫn chưa làm rõ được độ dài.

Chúng ta hãy thử đưa về một vectơ có điểm đầu A hoặc C.
\(\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} – \vec{BC}\).

Xét tam giác ABC đều.
\(\vec{AB}\) và \(\vec{BC}\) là hai cạnh của tam giác. Góc giữa chúng là góc \(\angle ABC = 60^\circ\).
Tuy nhiên, chúng ta đang tính hiệu \(\vec{AB} – \vec{BC}\).

Để dễ hình dung, hãy đặt điểm gốc tại A.
Ta cần tính \(|\vec{AB} + \vec{CB}|\).
Ta có thể viết \(\vec{CB}\) dưới dạng một vectơ có điểm đầu là A.
\(\vec{CB} = \vec{AB} – \vec{AC}\) (Quy tắc hiệu hai vectơ với chung điểm đầu).
Vậy, \(\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} + (\vec{AB} – \vec{AC}) = 2\vec{AB} – \vec{AC}\).
Điều này không làm đơn giản hóa nhiều.

Hãy thử cách khác: Đặt điểm gốc tại B.
Ta có \(\vec{BA} = -\vec{AB}\).
Vectơ cần tính là \(\vec{AB} + \vec{CB}\).
Ta có thể viết lại \(\vec{AB}\) và \(\vec{CB}\) có điểm cuối là B.
\(\vec{AB} + \vec{CB}\).

Hãy sử dụng tính chất hình học.
Vẽ tam giác ABC đều cạnh 5.
Đặt vectơ \(\vec{u} = \vec{AB}\) và \(\vec{v} = \vec{CB}\).
Ta cần tính \(|\vec{u} + \vec{v}|\).

Ta có thể biến đổi \(\vec{CB}\) thành \(-\vec{BC}\).
Vậy, ta cần tính \(|\vec{AB} – \vec{BC}|\).

Hãy tập trung vào việc tạo ra một vectơ duy nhất.
Ta có thể sử dụng quy tắc ba điểm: \(\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}\).
Trong biểu thức \(\vec{AB} + \vec{CB}\), điểm cuối của vectơ thứ nhất (B) không trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai (C).

Hãy suy nghĩ về hướng của các vectơ.
\(\vec{AB}\) hướng từ A sang B.
\(\vec{CB}\) hướng từ C sang B.

Ta có thể đưa về chung điểm đầu bằng cách đổi chiều:
\(\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} – \vec{BC}\).

Bây giờ, chúng ta có hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{BC}\) với điểm cuối của vectơ thứ nhất là B, và điểm đầu của vectơ thứ hai là B. Đây là cơ hội để sử dụng quy tắc ba điểm nếu ta viết lại phép trừ thành phép cộng: \(\vec{AB} + (-\vec{BC})\).

Hoặc chúng ta có thể xem xét \(\vec{AB}\) và \(\vec{BC}\) là hai cạnh của tam giác ABC.
Góc giữa hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{BC}\) là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC.
Góc trong tại B là \(60^\circ\). Góc ngoài tại B là \(180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\).

Để tính độ dài của \(\vec{AB} – \vec{BC}\), ta có thể sử dụng công thức độ dài của vectơ hiệu:
\(|\vec{u} – \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 – 2 |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta\), trong đó \(\theta\) là góc giữa \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\).

Ở đây, \(\vec{u} = \vec{AB}\) và \(\vec{v} = \vec{BC}\).
\(|\vec{AB}| = 5\) (cạnh tam giác đều).
\(|\vec{BC}| = 5\) (cạnh tam giác đều).
Góc giữa \(\vec{AB}\) và \(\vec{BC}\) là góc ngoài tại B, bằng \(120^\circ\).

Vậy, độ dài của \(\vec{AB} – \vec{BC}\) là:
\(| \vec{AB} – \vec{BC} |^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 – 2 |\vec{AB}| |\vec{BC}| \cos(120^\circ)\)
\(| \vec{AB} – \vec{BC} |^2 = 5^2 + 5^2 – 2 \times 5 \times 5 \times (-\frac{1}{2})\)
\(| \vec{AB} – \vec{BC} |^2 = 25 + 25 – 50 \times (-\frac{1}{2})\)
\(| \vec{AB} – \vec{BC} |^2 = 50 + 25\)
\(| \vec{AB} – \vec{BC} |^2 = 75\)

\(| \vec{AB} – \vec{BC} | = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\).

Và ta biết rằng \(\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} – \vec{BC}\).
Vậy, \(|\vec{AB} + \vec{CB}| = 5\sqrt{3}\).

Bước 3: Làm tròn kết quả.

Chúng ta cần làm tròn kết quả \(5\sqrt{3}\) đến 2 chữ số thập phân.
\(\sqrt{3} \approx 1.7320508…\)
\(5\sqrt{3} \approx 5 \times 1.7320508… \approx 8.660254…\)

Làm tròn đến 2 chữ số thập phân, ta được 8.66.

Kết luận:

Vậy, độ dài của vectơ \(\vec{AB} + \vec{CB}\) là \(5\sqrt{3}\), làm tròn đến 2 chữ số thập phân là 8.66.

Chúng ta đã hoàn thành bài toán bằng cách:
1. Phân tích đề bài.
2. Biến đổi phép cộng vectơ về dạng hiệu hai vectơ có chung điểm đầu.
3. Sử dụng công thức tính độ dài của vectơ hiệu và các thông tin từ tam giác đều.
4. Làm tròn kết quả theo yêu cầu.

Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững các quy tắc cộng trừ vectơ và các tính chất của hình học, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng.

Chúc các em học tốt!