Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một bài toán về vectơ rất cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 10 nhé. Bài toán này giúp chúng ta củng cố kiến thức về phép cộng, trừ vectơ và quy tắc ba điểm.

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN:

Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh một đẳng thức vectơ trong tam giác ABC, với điểm M nằm trên cạnh BC và thỏa mãn điều kiện về độ dài: \(MB = 2MC\).

Điều kiện \(MB = 2MC\) có ý nghĩa rất quan trọng. Nó cho chúng ta biết vị trí tương đối của điểm M trên đoạn BC. Cụ thể:

1. Vì M nằm trên đoạn BC, nên ba điểm B, M, C thẳng hàng.
2. Độ dài đoạn BM gấp đôi độ dài đoạn MC. Điều này có nghĩa là đoạn BC được chia thành 3 phần bằng nhau, trong đó BM chiếm 2 phần và MC chiếm 1 phần.
3. Từ đó, ta có thể suy ra mối quan hệ vectơ giữa \(\overrightarrow{BM}\) và \(\overrightarrow{BC}\), hoặc giữa \(\overrightarrow{CM}\) và \(\overrightarrow{CB}\).

HƯỚNG GIẢI QUYẾT:

Để chứng minh đẳng thức vectơ \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc ba điểm (phép cộng vectơ) để biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{AM}\) thông qua các vectơ khác có điểm đầu là A (ví dụ: \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\)).

Hãy cùng thầy đi vào các bước giải chi tiết nhé!

BÀI GIẢI CHI TIẾT:

Bước 1: Phân tích điều kiện \(\mathbf{MB = 2MC}\) thành mối quan hệ vectơ.

Vì điểm M nằm trên đoạn thẳng BC và \(MB = 2MC\), điều này có nghĩa là các vectơ \(\overrightarrow{BM}\) và \(\overrightarrow{MC}\) cùng hướng (do M nằm giữa B và C).

Ta có độ dài \(BC = BM + MC\).

Thay \(BM = 2MC\) vào, ta được \(BC = 2MC + MC = 3MC\).

Từ đó suy ra:

• \(MC = \frac{1}{3}BC\)
• \(BM = 2MC = 2 \cdot \frac{1}{3}BC = \frac{2}{3}BC\)

Vì các vectơ \(\overrightarrow{BM}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng hướng, ta có thể viết mối quan hệ này dưới dạng vectơ như sau:

\[ \overrightarrow{BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \]

Đây là một mấu chốt quan trọng của bài toán, các em cần ghi nhớ cách suy luận này nhé!

Bước 2: Biểu diễn vectơ \(\mathbf{\overrightarrow{AM}}\) theo một vectơ có điểm đầu là B.

Để đưa vectơ \(\overrightarrow{AM}\) về dạng liên quan đến \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\), chúng ta có thể sử dụng quy tắc ba điểm (quy tắc cộng vectơ).

Ta chọn điểm B làm điểm trung gian:

\[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \]

(Đây là quy tắc cộng vectơ, hoặc quy tắc ba điểm: từ A đến M có thể đi từ A đến B rồi từ B đến M).

Bước 3: Thay thế kết quả từ Bước 1 vào đẳng thức ở Bước 2.

Chúng ta vừa tìm được \(\overrightarrow{BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\). Hãy thay thế vào đẳng thức của Bước 2:

\[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \]

Bước 4: Biểu diễn vectơ \(\mathbf{\overrightarrow{BC}}\) theo \(\mathbf{\overrightarrow{AB}}\) và \(\mathbf{\overrightarrow{AC}}\).

Vectơ \(\overrightarrow{BC}\) có thể được biểu diễn thông qua hiệu của hai vectơ có cùng điểm gốc. Trong trường hợp này, chúng ta muốn đưa về gốc A, nên ta sẽ biểu diễn \(\overrightarrow{BC}\) qua \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AB}\):

\[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB} \]

(Đây là quy tắc trừ vectơ, hoặc quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)).

Bước 5: Thay thế kết quả từ Bước 4 vào đẳng thức ở Bước 3 và rút gọn.

Bây giờ, chúng ta thay \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}\) vào biểu thức của \(\overrightarrow{AM}\) đã có ở Bước 3:

\[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}) \]

Tiếp theo, chúng ta sẽ phân phối \(\frac{2}{3}\) và nhóm các hạng tử tương ứng:

\[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} – \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \]

Nhóm các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) lại với nhau:

\[ \overrightarrow{AM} = \left(1 – \frac{2}{3}\right)\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \]

Thực hiện phép trừ trong ngoặc:

\[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \]

Kết quả này hoàn toàn trùng khớp với điều mà đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh!

KẾT LUẬN:

Vậy là chúng ta đã chứng minh được đẳng thức \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) một cách chi tiết và rõ ràng. Bài toán này minh họa rất tốt cách chúng ta sử dụng linh hoạt quy tắc ba điểm và mối quan hệ giữa các vectơ trên một đoạn thẳng.

Các em hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy! Chúc các em học tốt!