Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về phân tích vectơ, một dạng bài rất cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 10. Bài toán này giúp các em củng cố kiến thức về phép cộng, trừ vectơ và tích của vectơ với một số, đồng thời rèn luyện kỹ năng biến đổi vectơ linh hoạt.

Bài tập của chúng ta là:

Cho tam giác ABC, M là điểm trên cạnh BC sao cho BM=2MC. Phân tích vectơ \(\vec{AM}\) theo vectơ \(\vec{AB}\) và vectơ \(\vec{AC}\).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một nhé:

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định mối quan hệ giữa các vectơ liên quan đến điểm M trên cạnh BC.

Đề bài cho biết M là điểm trên cạnh BC và \(\text{BM} = 2\text{MC}\).

Vì M nằm trên đoạn thẳng BC nên vectơ \(\vec{BM}\) và \(\vec{MC}\) cùng hướng. Đồng thời, vectơ \(\vec{BM}\) và \(\vec{BC}\) cũng cùng hướng.

Từ hệ thức độ dài \(\text{BM} = 2\text{MC}\), chúng ta có thể suy ra độ dài đoạn BC:

\[ \text{BC} = \text{BM} + \text{MC} = 2\text{MC} + \text{MC} = 3\text{MC} \]

Do đó, \(\text{MC} = \frac{1}{3}\text{BC}\). Kéo theo, \(\text{BM} = 2\text{MC} = 2 \cdot \frac{1}{3}\text{BC} = \frac{2}{3}\text{BC}\).

Vì \(\vec{BM}\) và \(\vec{BC}\) cùng hướng, chúng ta có thể biểu diễn vectơ \(\vec{BM}\) theo vectơ \(\vec{BC}\) như sau:

\[ \vec{BM} = \frac{2}{3} \vec{BC} \]

(Giải thích: Khi hai vectơ cùng phương và cùng hướng, và một vectơ có độ dài bằng k lần độ dài vectơ kia, thì vectơ thứ nhất bằng k lần vectơ thứ hai. Ở đây, \(\vec{BM}\) và \(\vec{BC}\) cùng hướng, và độ dài \(\text{BM} = \frac{2}{3}\text{BC}\) nên ta có hệ thức trên.)

Bước 2: Phân tích vectơ \(\vec{AM}\) bằng cách sử dụng quy tắc ba điểm (quy tắc chèn điểm).

Chúng ta cần phân tích \(\vec{AM}\) theo \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\). Một cách thông thường để làm điều này là chèn điểm B vào giữa A và M (hoặc điểm C). Chúng ta sẽ chèn điểm B:

\[ \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} \]

(Giải thích: Đây là quy tắc cộng vectơ (quy tắc ba điểm): để đi từ A đến M, ta có thể đi từ A đến B, rồi từ B đến M. Vectơ tổng bằng vectơ nối điểm đầu và điểm cuối.)

Bước 3: Biểu diễn vectơ \(\vec{BC}\) theo \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\).

Chúng ta đã có \(\vec{BM} = \frac{2}{3} \vec{BC}\). Bây giờ, ta cần biểu diễn \(\vec{BC}\) theo \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\). Chúng ta sẽ sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ (cũng là một dạng của quy tắc ba điểm):

\[ \vec{BC} = \vec{AC} – \vec{AB} \]

(Giải thích: Vectơ nối điểm đầu C với điểm cuối B có thể được viết bằng hiệu của vectơ có điểm cuối C trừ đi vectơ có điểm cuối B, cùng chung điểm gốc A. \(\vec{OC} – \vec{OB} = \vec{BC}\). Đây là công thức nền tảng giúp chúng ta chuyển các vectơ trong tam giác về dạng có chung gốc.)

Bước 4: Thay thế các biểu thức đã tìm được vào công thức của \(\vec{AM}\).

Từ Bước 2, chúng ta có: \(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}\)

Thay \(\vec{BM} = \frac{2}{3} \vec{BC}\) (từ Bước 1) vào, ta được:

\[ \vec{AM} = \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{BC} \]

Tiếp theo, thay \(\vec{BC} = \vec{AC} – \vec{AB}\) (từ Bước 3) vào, ta được:

\[ \vec{AM} = \vec{AB} + \frac{2}{3} (\vec{AC} – \vec{AB}) \]

Bước 5: Rút gọn biểu thức để nhận được dạng cuối cùng.

Chúng ta sẽ thực hiện phép nhân phân phối và nhóm các vectơ cùng loại lại:

\[ \vec{AM} = \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC} – \frac{2}{3} \vec{AB} \]

\[ \vec{AM} = \left(1 – \frac{2}{3}\right) \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC} \]

\[ \vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC} \]

Đây chính là biểu thức cuối cùng của vectơ \(\vec{AM}\) theo vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\).

Kết luận:

Vậy, vectơ \(\vec{AM}\) có thể được phân tích theo vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) như sau:

\[ \vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC} \]

Các em có thể thấy, việc phân tích vectơ đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các quy tắc cộng, trừ vectơ và tích của vectơ với một số, cùng với khả năng biến đổi linh hoạt. Bài toán này cũng có thể được giải nhanh hơn bằng công thức điểm chia đoạn thẳng (nếu M chia đoạn BC theo tỉ lệ \(\text{BM} = k \cdot \text{MC}\), thì \(\vec{AM} = \frac{1}{1+k} \vec{AB} + \frac{k}{1+k} \vec{AC}\)), nhưng việc hiểu rõ từng bước biến đổi như trên sẽ giúp các em xây dựng nền tảng vững chắc hơn cho những bài toán phức tạp sau này. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các dạng bài này nhé!