Trước tiên, chúng ta cùng nhau vẽ hình.

Vẽ hình:

1. Vẽ tam giác ABC vuông tại A.
2. Trên cạnh AC, lấy điểm E sao cho AE bằng 2/3 AC.
3. Từ E, kẻ một đường thẳng vuông góc với AC, đường thẳng này cắt BC tại điểm I.

(Các con hãy vẽ hình ra giấy nháp theo hướng dẫn này nhé. Hình vẽ của chúng ta sẽ có tam giác ABC, với góc A là góc vuông. Điểm E nằm trên AC, chia AC thành 3 phần thì AE chiếm 2 phần. Đường thẳng EI vuông góc với AC tại E và cắt BC tại I.)

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau đi vào giải bài toán.

Phân tích đề bài và tóm tắt dữ kiện:

Chúng ta có:
* Tam giác ABC vuông tại A.
* E là điểm trên AC sao cho AE = (2/3) AC.
* EI vuông góc với AC (tức là góc AEI = 90 độ).
* EI cắt BC tại I.
* Độ dài AC = 18 cm.
* Độ dài EI = 12 cm.

Chúng ta cần tính:
a) Diện tích tam giác AIC.
b) Diện tích tam giác EBC.

Giải bài tập:

Bước 1: Tính độ dài AE

Chúng ta biết AE = (2/3) AC và AC = 18 cm.
Vậy, độ dài đoạn thẳng AE là:
AE = (2/3) * 18 cm

Để tính phép nhân này, ta lấy 18 chia cho 3 rồi nhân với 2.
18 : 3 = 6
6 * 2 = 12

Vậy, AE = 12 cm.

Bước 2: Tính diện tích tam giác ABE

Tam giác ABE vuông tại A (vì tam giác ABC vuông tại A).
Để tính diện tích một tam giác vuông, ta lấy tích độ dài hai cạnh góc vuông chia cho 2.
Cạnh góc vuông thứ nhất là AE = 12 cm.
Cạnh góc vuông thứ hai là AB. Đề bài chưa cho độ dài AB. Tuy nhiên, các con hãy nhìn kỹ vào hình vẽ và đề bài. Chúng ta có EI vuông góc với AC tại E. Điều này có nghĩa là EI song song với AB (vì cả hai đều vuông góc với AC).
Chúng ta cần xem xét tam giác ABC. Chúng ta có thể tính diện tích tam giác AIC và EBC, vậy có lẽ chúng ta cần tìm độ dài AB và BC hoặc các tỉ lệ tương ứng.

Hãy xem lại đề bài. Đề bài cho AC = 18 cm, EI = 12 cm, AE = 2/3 AC.
Chúng ta đã tính AE = 12 cm.

Bây giờ, chúng ta cần tìm diện tích tam giác AIC.
Để tính diện tích tam giác AIC, ta cần biết độ dài đáy AC và chiều cao tương ứng là độ dài đoạn thẳng từ I kẻ vuông góc xuống AC.
Nhưng đề bài cho EI vuông góc với AC, và E nằm trên AC. Vậy, EI chính là chiều cao của tam giác AIC với đáy AC, nếu ta coi AC là đáy của tam giác AIC. Tuy nhiên, điều này chỉ đúng nếu I nằm ở một vị trí sao cho AC là đáy và EI là chiều cao.

Hãy xem lại tam giác AIC. Đáy của tam giác AIC có thể là AC, khi đó chiều cao sẽ là khoảng cách từ I đến đường thẳng chứa AC. Hoặc đáy có thể là IC, khi đó chiều cao sẽ là khoảng cách từ A đến đường thẳng chứa IC.
Tuy nhiên, đề bài cho EI vuông góc với AC. Điều này có nghĩa là EI là chiều cao của tam giác ACI nếu coi AC là đáy, hoặc EI là chiều cao của tam giác ECI với đáy EC.

Chúng ta xem xét tam giác AIC. Đáy là AC, chiều cao từ I hạ xuống AC.
Nhưng chúng ta có EI vuông góc với AC.
Để tính diện tích tam giác AIC, ta cần biết độ dài đáy AC và chiều cao hạ từ I xuống AC.
Nhìn vào hình vẽ, EI vuông góc với AC. Nếu ta coi AC là đáy của tam giác AIC, thì chiều cao hạ từ I xuống AC chính là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ I tới đường thẳng AC. Ta có EI vuông góc với AC.
Vậy, nếu ta coi E là điểm trên AC, và EI là đường cao của tam giác AIC tương ứng với đáy AC, thì điều này chỉ đúng khi E là chân đường cao. Nhưng E không nhất thiết là chân đường cao từ I.

Hãy xem xét lại đề bài và hình vẽ. EI vuông góc với AC. Điều này có nghĩa là EI song song với AB (vì ABC vuông ở A).

Phân tích lại:
Chúng ta có tam giác ABC vuông tại A.
E nằm trên AC sao cho AE = 2/3 AC.
EI vuông góc với AC.
Điều này có nghĩa là EI là đường cao của tam giác ABC từ đỉnh C hạ xuống cạnh AB, nhưng nó lại cắt BC tại I và vuông góc với AC.
Vì EI vuông góc với AC, và AB cũng vuông góc với AC, nên EI song song với AB.

Ta có AE = 12 cm. AC = 18 cm. Vậy EC = AC – AE = 18 – 12 = 6 cm.

a) Tính diện tích tam giác AIC

Để tính diện tích tam giác AIC, ta có thể lấy đáy là AC và chiều cao là khoảng cách từ I đến đường thẳng AC.
Vì EI vuông góc với AC, nên EI là chiều cao của tam giác ACI nếu ta coi AC là đáy.
Để làm rõ hơn, hãy nghĩ về các tam giác đồng dạng.
Vì EI song song với AB (cùng vuông góc với AC).
Xét tam giác BCI và tam giác BAC. Chúng không hẳn là đồng dạng.

Hãy xem xét tam giác ABC. Chúng ta có thể sử dụng tỉ lệ diện tích.
Ta có EI song song với AB.
Xét tam giác ABC và đường thẳng EI song song với AB cắt BC tại I và AC tại E.
Theo định lí Thales đảo, ta có:
CI / CB = CE / CA = EI / AB

Chúng ta biết CE = 6 cm và CA = 18 cm.
CE / CA = 6 / 18 = 1/3.
Vậy, CI / CB = 1/3. Điều này có nghĩa là I chia đoạn BC thành tỉ lệ 1:2 (nếu CI là 1 phần thì IB là 2 phần).
Và EI / AB = 1/3. Suy ra AB = 3 * EI.

Chúng ta biết EI = 12 cm.
Vậy, AB = 3 * 12 cm = 36 cm.

Bây giờ chúng ta có thể tính diện tích tam giác ABC.
Diện tích tam giác ABC = (1/2) AB AC
Diện tích tam giác ABC = (1/2) 36 cm 18 cm
Diện tích tam giác ABC = 18 cm * 18 cm = 324 cm².

Quay lại câu a) Tính diện tích tam giác AIC.
Ta có thể tính diện tích tam giác AIC bằng cách lấy diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích tam giác AIB.
Hoặc ta có thể tính trực tiếp.
Đáy của tam giác AIC là AC = 18 cm.
Chiều cao hạ từ I xuống AC. Nhìn vào hình vẽ, EI vuông góc với AC.
Vậy, độ dài EI là chiều cao của tam giác AIC với đáy AC, nhưng điều này sai. EI là đường thẳng vuông góc với AC tại E, và E nằm trên AC.
Vậy, EI là chiều cao của tam giác AIC nếu ta coi đáy là AC. Tuy nhiên, I không nhất thiết phải nằm trên đường thẳng vuông góc với AC tại E.

Hãy xem lại tam giác AIC. Đáy là AC = 18 cm. Chiều cao tương ứng là khoảng cách từ I đến đường thẳng AC.
Chúng ta có EI vuông góc với AC. Điều này có nghĩa là EI là một đoạn thẳng có độ dài 12 cm và vuông góc với AC tại E.

Quan trọng: Khi đề bài cho EI vuông góc với AC, và E nằm trên AC, thì EI chính là chiều cao của tam giác AIC nếu ta lấy AC làm đáy.
Đây là một điểm cần chú ý trong cách vẽ và diễn giải hình học. EI là đoạn thẳng vuông góc với AC tại E, và I là điểm trên BC.
Vậy, EI là khoảng cách từ I đến đường thẳng AC.

Diện tích tam giác AIC = (1/2) đáy chiều cao
Diện tích tam giác AIC = (1/2) AC EI
Diện tích tam giác AIC = (1/2) 18 cm 12 cm

Tính toán:
18 : 2 = 9
9 * 12 = 108

Vậy, diện tích tam giác AIC = 108 cm².

b) Tính diện tích tam giác EBC

Chúng ta có thể tính diện tích tam giác EBC bằng cách lấy diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích tam giác ABE.

Trước hết, ta cần tính diện tích tam giác ABE.
Tam giác ABE vuông tại A.
AE = 12 cm (đã tính ở Bước 1).
AB = 36 cm (đã tính ở trên nhờ tỉ lệ EI/AB = 1/3).

Diện tích tam giác ABE = (1/2) AB AE
Diện tích tam giác ABE = (1/2) 36 cm 12 cm
Diện tích tam giác ABE = 18 cm * 12 cm = 216 cm².

Bây giờ, tính diện tích tam giác EBC.
Diện tích tam giác EBC = Diện tích tam giác ABC – Diện tích tam giác ABE
Diện tích tam giác EBC = 324 cm² – 216 cm²
Diện tích tam giác EBC = 108 cm².

Cách khác để tính diện tích tam giác EBC:
Ta có thể tính diện tích tam giác EBC bằng cách lấy đáy EC và chiều cao tương ứng từ B đến đường thẳng EC (tức là đường thẳng AC).
Đáy EC = AC – AE = 18 cm – 12 cm = 6 cm.
Chiều cao từ B đến đường thẳng AC chính là độ dài cạnh AB, vì tam giác ABC vuông tại A.
AB = 36 cm.

Diện tích tam giác EBC = (1/2) EC AB
Diện tích tam giác EBC = (1/2) 6 cm 36 cm
Diện tích tam giác EBC = 3 cm * 36 cm = 108 cm².

Cả hai cách đều cho kết quả giống nhau, thật tuyệt vời!

Đáp số:

a) Diện tích tam giác AIC là 108 cm².
b) Diện tích tam giác EBC là 108 cm².

Vậy là chúng ta đã giải xong bài toán này. Các con thấy không, chỉ cần nắm vững kiến thức về diện tích tam giác, tỉ lệ đoạn thẳng và tính chất của các đường song song, vuông góc là chúng ta có thể chinh phục được những bài toán khó. Hãy xem lại từng bước, đặc biệt là cách chúng ta sử dụng tỉ lệ từ EI song song với AB để tìm ra độ dài AB nhé!