Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị liên quan đến lượng giác, kết hợp với việc tìm giá trị nguyên của tham số. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước giải nhé!

Trước hết, chúng ta cần nhớ lại một số công thức lượng giác quen thuộc.

Bước 1: Phân tích mối liên hệ giữa tan a + cot a và tan^4 a + cot^4 a

Các em có nhận ra mối liên hệ giữa hai biểu thức này không? Chúng ta có thể sử dụng phép nâng lũy thừa từ biểu thức bậc nhất lên bậc cao hơn.

Ta có:
tan a + cot a = m^2 + 7m – 4 (1)

Để tìm tan^4 a + cot^4 a, chúng ta sẽ bình phương biểu thức ở (1):
(tan a + cot a)^2 = (m^2 + 7m – 4)^2
tan^2 a + 2 tan a cot a + cot^2 a = (m^2 + 7m – 4)^2

Chúng ta biết rằng tan a * cot a = 1 (với điều kiện tan a và cot a xác định).
Vậy:
tan^2 a + 2 * 1 + cot^2 a = (m^2 + 7m – 4)^2
tan^2 a + cot^2 a = (m^2 + 7m – 4)^2 – 2 (2)

Bây giờ, để có được tan^4 a + cot^4 a, chúng ta tiếp tục bình phương biểu thức ở (2):
(tan^2 a + cot^2 a)^2 = ((m^2 + 7m – 4)^2 – 2)^2
tan^4 a + 2 tan^2 a cot^2 a + cot^4 a = ((m^2 + 7m – 4)^2 – 2)^2

Lại có tan^2 a cot^2 a = (tan a cot a)^2 = 1^2 = 1.
Vậy:
tan^4 a + 2 * 1 + cot^4 a = ((m^2 + 7m – 4)^2 – 2)^2
tan^4 a + cot^4 a = ((m^2 + 7m – 4)^2 – 2)^2 – 2 (3)

Bước 2: Sử dụng giả thiết tan^4 a + cot^4 a = 194

Đề bài cho chúng ta biết:
tan^4 a + cot^4 a = 194 (4)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế biểu thức ở (4) vào (3):
194 = ((m^2 + 7m – 4)^2 – 2)^2 – 2

Bước 3: Giải phương trình tìm m

Chúng ta sẽ tiến hành giải phương trình này từng bước.
194 + 2 = ((m^2 + 7m – 4)^2 – 2)^2
196 = ((m^2 + 7m – 4)^2 – 2)^2

Lấy căn bậc hai hai vế, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: m^2 + 7m – 4)^2 – 2 = 14
(m^2 + 7m – 4)^2 = 14 + 2
(m^2 + 7m – 4)^2 = 16

Trường hợp 2: m^2 + 7m – 4)^2 – 2 = -14
(m^2 + 7m – 4)^2 = -14 + 2
(m^2 + 7m – 4)^2 = -12

Quan sát hai trường hợp, ta thấy trường hợp 2 cho kết quả là bình phương của một biểu thức bằng một số âm (-12). Trong tập số thực, bình phương của một biểu thức luôn không âm, do đó trường hợp này vô nghiệm.

Chúng ta chỉ xét trường hợp 1:
(m^2 + 7m – 4)^2 = 16

Lấy căn bậc hai hai vế của phương trình này, ta tiếp tục có hai trường hợp cho biểu thức bên trong dấu bình phương:
Trường hợp 1.1: m^2 + 7m – 4 = 4
m^2 + 7m – 4 – 4 = 0
m^2 + 7m – 8 = 0

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm. Ở đây, chúng ta thấy dễ dàng phân tích thành nhân tử:
(m + 8)(m – 1) = 0

Suy ra:
m + 8 = 0 => m = -8
m – 1 = 0 => m = 1

Trường hợp 1.2: m^2 + 7m – 4 = -4
m^2 + 7m – 4 + 4 = 0
m^2 + 7m = 0

Phân tích nhân tử:
m(m + 7) = 0

Suy ra:
m = 0
m + 7 = 0 => m = -7

Vậy, chúng ta tìm được các giá trị của m là: -8, 1, 0, -7.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện để tan a và cot a xác định

Để tan a và cot a xác định, chúng ta cần cos a khác 0 và sin a khác 0. Điều này tương đương với a không phải là bội số của pi/2.
Ngoài ra, ta cũng cần tan a + cot a > 0 vì tan^2 a + cot^2 a luôn dương (trừ trường hợp đặc biệt nhưng ở đây ta có tan^4 a + cot^4 a = 194 nên không phải trường hợp đặc biệt).
Ta có tan a + cot a = tan a + 1/tan a. Nếu tan a > 0 thì tan a + 1/tan a >= 2. Nếu tan a < 0 thì tan a + 1/tan a <= -2. Do đó, để tan a + cot a có thể tồn tại các giá trị của tan^2 a + cot^2 a và tan^4 a + cot^4 a là số dương, ta cần tan a + cot a > 0.

Ta có tan a + cot a = m^2 + 7m – 4.
Chúng ta sẽ kiểm tra giá trị của m^2 + 7m – 4 với các giá trị m tìm được:

* Với m = -8: m^2 + 7m – 4 = (-8)^2 + 7(-8) – 4 = 64 – 56 – 4 = 4. 4 > 0. Thỏa mãn.
* Với m = 1: m^2 + 7m – 4 = (1)^2 + 7(1) – 4 = 1 + 7 – 4 = 4. 4 > 0. Thỏa mãn.
* Với m = 0: m^2 + 7m – 4 = (0)^2 + 7(0) – 4 = -4. -4 < 0. Không thỏa mãn điều kiện tan a + cot a > 0.
* Với m = -7: m^2 + 7m – 4 = (-7)^2 + 7(-7) – 4 = 49 – 49 – 4 = -4. -4 < 0. Không thỏa mãn điều kiện tan a + cot a > 0.

Vậy, các giá trị nguyên của m thỏa mãn là m = -8 và m = 1.

Bước 5: Đếm số các giá trị nguyên của m

Chúng ta tìm được hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là -8 và 1.

Vậy, có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững công thức và làm từng bước một cách cẩn thận, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán này. Hãy nhớ ôn tập lại các công thức lượng giác cơ bản và cách biến đổi biểu thức nhé!