Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập về tỉ số lượng giác rất thú vị. Cô sẽ hướng dẫn các em một cách chi tiết, bám sát kiến thức đã học trong Sách giáo khoa Toán lớp 9 nhé.

Bài toán của chúng ta là: Cho tanx = 1,3. Tính tỉ số lượng giác sinx, cosx, cotx.

Chúng ta sẽ đi từng bước một.

Bước 1: Tìm cotx

Các em còn nhớ mối liên hệ giữa tanx và cotx không nào? Đúng rồi, đó là công thức:
\[ \tan x \cdot \cot x = 1 \]
Từ công thức này, chúng ta có thể suy ra:
\[ \cot x = \frac{1}{\tan x} \]
Bây giờ, chúng ta thay giá trị tanx = 1,3 vào công thức này:
\[ \cot x = \frac{1}{1,3} \]
Để cho đẹp, chúng ta có thể quy đồng hoặc để nguyên phân số như vậy cũng được. Nếu muốn viết dưới dạng phân số thập phân, chúng ta có thể viết là:
\[ \cot x = \frac{10}{13} \]
Vậy là chúng ta đã tìm được cotx rồi. Dễ đúng không nào?

Bước 2: Tìm sinx và cosx

Để tìm sinx và cosx, chúng ta sẽ sử dụng một công thức quan trọng khác. Các em còn nhớ công thức liên hệ giữa sin, cos và tan không? Đó là:
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]
Và một công thức cơ bản liên quan đến sinx và cosx là:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]
Tuy nhiên, cách nhanh nhất để tìm sinx và cosx khi biết tanx là sử dụng công thức sau đây:
\[ 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \]
Hoặc có thể viết là:
\[ \cos^2 x = \frac{1}{1 + \tan^2 x} \]
Bây giờ, chúng ta thay giá trị tanx = 1,3 vào công thức này:
\[ \cos^2 x = \frac{1}{1 + (1,3)^2} \]
Tính toán \((1,3)^2\):
\((1,3)^2 = 1,3 \times 1,3 = 1,69\)
Vậy ta có:
\[ \cos^2 x = \frac{1}{1 + 1,69} = \frac{1}{2,69} \]
Để tiện cho việc tính căn bậc hai, chúng ta có thể viết 2,69 dưới dạng phân số: \(2,69 = \frac{269}{100}\).
\[ \cos^2 x = \frac{1}{\frac{269}{100}} = \frac{100}{269} \]
Bây giờ, chúng ta lấy căn bậc hai hai vế để tìm cosx:
\[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{100}{269}} = \pm \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{269}} = \pm \frac{10}{\sqrt{269}} \]
Lưu ý rằng, vì đề bài không cho biết x thuộc góc phần tư nào, nên cosx có thể nhận cả giá trị dương và âm. Thông thường, trong các bài tập dạng này, nếu không có điều kiện gì thêm, chúng ta có thể xét cả hai trường hợp hoặc tùy vào ngữ cảnh của bài toán (ví dụ: nếu x là góc nhọn thì cosx dương). Tuy nhiên, để cho đầy đủ, chúng ta ghi cả hai trường hợp.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm sinx. Chúng ta có thể sử dụng lại công thức \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\).
Suy ra:
\[ \sin x = \tan x \cdot \cos x \]
Chúng ta có hai trường hợp cho cosx:

Trường hợp 1: \(\cos x = \frac{10}{\sqrt{269}}\)
\[ \sin x = 1,3 \cdot \frac{10}{\sqrt{269}} = \frac{13}{10} \cdot \frac{10}{\sqrt{269}} = \frac{13}{\sqrt{269}} \]

Trường hợp 2: \(\cos x = -\frac{10}{\sqrt{269}}\)
\[ \sin x = 1,3 \cdot \left(-\frac{10}{\sqrt{269}}\right) = \frac{13}{10} \cdot \left(-\frac{10}{\sqrt{269}}\right) = -\frac{13}{\sqrt{269}} \]

Như vậy, chúng ta có hai cặp giá trị cho (sinx, cosx) tương ứng với hai trường hợp của cosx.

Để làm cho các giá trị này “đẹp” hơn, chúng ta có thể nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{269}\) để trục căn ở mẫu (mặc dù cô biết là kiến thức này có thể hơi nâng cao hơn một chút so với chương trình lớp 9 cơ bản, nhưng đây là cách trình bày toán học chuẩn mực).
Nếu \(\cos x = \frac{10}{\sqrt{269}}\), thì \(\cos x = \frac{10\sqrt{269}}{269}\).
Và \(\sin x = \frac{13}{\sqrt{269}} = \frac{13\sqrt{269}}{269}\).

Nếu \(\cos x = -\frac{10}{\sqrt{269}}\), thì \(\cos x = -\frac{10\sqrt{269}}{269}\).
Và \(\sin x = -\frac{13}{\sqrt{269}} = -\frac{13\sqrt{269}}{269}\).

Kết luận:

Từ các bước trên, chúng ta có các tỉ số lượng giác cần tìm như sau:
cotx = \(\frac{10}{13}\)
Và hai trường hợp cho sinx, cosx:
Trường hợp 1: \(\sin x = \frac{13\sqrt{269}}{269}\) và \(\cos x = \frac{10\sqrt{269}}{269}\)
Trường hợp 2: \(\sin x = -\frac{13\sqrt{269}}{269}\) và \(\cos x = -\frac{10\sqrt{269}}{269}\)

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải bài toán này. Hãy nhớ ôn tập các công thức lượng giác quan trọng nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!