Câu hỏi của em rất hay và cũng là một vấn đề nhiều bạn học sinh lớp 11 thắc mắc khi học về lượng giác. Đúng là chúng ta có công thức để hạ bậc cho \(sin³x\) và \(sin⁴x\), nhưng các công thức này không phải để học thuộc lòng. Thay vào đó, chúng ta sẽ xây dựng chúng từ những công thức gốc mà em đã học trong Sách giáo khoa Toán 11.

Thầy sẽ hướng dẫn em chi tiết từng bước nhé.

1. Xây dựng công thức hạ bậc cho \(sin³x\)

Để hạ bậc cho \(sin³x\), chúng ta sẽ dựa vào công thức nhân ba. Chắc em còn nhớ công thức này chứ?

\[sin(3x) = 3sinx – 4sin³x\]

Mục tiêu của chúng ta là biểu diễn \(sin³x\) theo các hàm lượng giác có số mũ là 1. Từ công thức trên, chúng ta chỉ cần thực hiện phép biến đổi đại số để rút \(sin³x\) ra là được.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Xuất phát từ công thức nhân ba.
\[sin(3x) = 3sinx – 4sin³x\]

Bước 2: Chuyển vế để đưa \(4sin³x\) sang vế trái và \(sin(3x)\) sang vế phải.
\[4sin³x = 3sinx – sin(3x)\]

Bước 3: Chia cả hai vế cho 4 để có được công thức cuối cùng.
\[sin³x = \frac{3sinx – sin(3x)}{4}\]

Vậy là chúng ta đã có công thức hạ bậc cho \(sin³x\). Em thấy không, vế phải của công thức chỉ chứa \(sinx\) và \(sin(3x)\) với số mũ là 1. Đây chính là điều chúng ta cần.

2. Xây dựng công thức hạ bậc cho \(sin⁴x\)

Đối với \(sin⁴x\), cách làm sẽ hơi khác một chút. Chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc cơ bản nhất mà em đã học, đó là công thức hạ bậc cho \(sin²x\), và áp dụng nó hai lần.

Công thức hạ bậc cơ bản (xuất phát từ công thức nhân đôi \(cos(2a) = 1 – 2sin²a\)):
\[sin²a = \frac{1 – cos(2a)}{2}\]

Các bước thực hiện:

Bước 1: Viết \(sin⁴x\) dưới dạng lũy thừa của \(sin²x\).
\[sin⁴x = (sin²x)²\]

Bước 2: Áp dụng công thức hạ bậc cho \(sin²x\) ở bên trong dấu ngoặc.
\[sin⁴x = \left( \frac{1 – cos(2x)}{2} \right)²\]

Bước 3: Khai triển bình phương ở tử và mẫu.
\[sin⁴x = \frac{(1 – cos(2x))²}{2²} = \frac{1 – 2cos(2x) + cos²(2x)}{4}\]

Bước 4: Tới đây, em thấy trong biểu thức vẫn còn \(cos²(2x)\) có bậc 2. Chúng ta cần phải tiếp tục hạ bậc cho số hạng này. Ta lại áp dụng công thức hạ bậc cho cosin (xuất phát từ \(cos(2a) = 2cos²a – 1\)):
\[cos²a = \frac{1 + cos(2a)}{2}\]
Trong trường hợp này, em hãy xem \(a\) là \(2x\). Vậy thì \(2a\) sẽ là \(2(2x) = 4x\).

Ta có:
\[cos²(2x) = \frac{1 + cos(4x)}{2}\]

Bước 5: Thay kết quả của \(cos²(2x)\) vào biểu thức ở Bước 3.
\[sin⁴x = \frac{1 – 2cos(2x) + \frac{1 + cos(4x)}{2}}{4}\]

Bước 6: Rút gọn biểu thức bằng cách quy đồng mẫu số ở tử thức.
\[sin⁴x = \frac{\frac{2(1 – 2cos(2x))}{2} + \frac{1 + cos(4x)}{2}}{4}\]
\[sin⁴x = \frac{\frac{2 – 4cos(2x) + 1 + cos(4x)}{2}}{4}\]
\[sin⁴x = \frac{3 – 4cos(2x) + cos(4x)}{8}\]

Như vậy, công thức hạ bậc cho \(sin⁴x\) là:
\[sin⁴x = \frac{3 – 4cos(2x) + cos(4x)}{8}\]
Hoặc có thể viết là: \(sin⁴x = \frac{1}{8}cos(4x) – \frac{1}{2}cos(2x) + \frac{3}{8}\)

Tổng kết lại:

Công thức hạ bậc cho \(sin³x\):
\[sin³x = \frac{3sinx – sin(3x)}{4}\]

Công thức hạ bậc cho \(sin⁴x\):
\[sin⁴x = \frac{3 – 4cos(2x) + cos(4x)}{8}\]

Lời khuyên của thầy: Điều quan trọng nhất không phải là nhớ thuộc lòng hai công thức cuối cùng này, mà là em phải nắm vững phương pháp xây dựng ra chúng từ các công thức gốc: công thức nhân ba và đặc biệt là công thức hạ bậc cho \(sin²x\) và \(cos²x\). Khi em hiểu cách làm, em có thể tự mình suy ra bất cứ lúc nào, thậm chí cho cả \(sin⁵x\) hay \(cos⁶x\).

Chúc em học tốt nhé! Nếu có gì chưa hiểu, đừng ngần ngại hỏi lại.