Chào các em, cô là giáo viên bộ môn Toán. Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán rất hay thuộc chuyên đề “Tìm giá trị nguyên của biểu thức phân thức” trong chương trình Toán lớp 8 mới.

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ đề bài. Cô sẽ giả định biểu thức các em muốn hỏi là: \(A = \frac{x+3}{x^2+9}\). Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức A cũng nhận giá trị nguyên.

Với dạng bài tập này, khi bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử, phương pháp hiệu quả nhất là “đánh giá” hay còn gọi là “tìm miền giá trị” của biểu thức. Tức là chúng ta sẽ tìm xem biểu thức \(A\) có thể nhận những giá trị trong khoảng nào, từ đó giới hạn các giá trị nguyên mà nó có thể nhận.

Chúng ta cùng bắt đầu giải chi tiết nhé.

BÀI GIẢI CHI TIẾT

Bước 1: Đặt điều kiện và gọi tên biểu thức

Gọi biểu thức đã cho là \(A\). Ta có:
\[ A = \frac{x+3}{x^2+9} \]
Để biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên, ta đặt \(A = k\) với \(k\) là một số nguyên (\(k \in \mathbb{Z}\)).
Khi đó, ta có phương trình:
\[ k = \frac{x+3}{x^2+9} \]

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai theo biến x

Từ phương trình trên, ta nhân chéo để khử mẫu:
\[ k(x^2 + 9) = x + 3 \]
\[ kx^2 + 9k = x + 3 \]
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành một phương trình bậc hai với biến là \(x\):
\[ kx^2 – x + (9k – 3) = 0 \]
Cô sẽ gọi đây là phương trình (*).

Bước 3: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

Đây là bước quan trọng nhất. Để tồn tại giá trị \(x\) thỏa mãn phương trình (*), thì phương trình bậc hai này phải có nghiệm. Điều kiện để phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm là biệt thức Delta (\(\Delta\)) phải lớn hơn hoặc bằng 0 (\(\Delta \ge 0\)).

Ta xét 2 trường hợp cho hệ số \(a = k\):

• Trường hợp 1: Nếu \(k = 0\).
  Phương trình (*) trở thành: \(0 \cdot x^2 – x + (9 \cdot 0 – 3) = 0\)
  \(\Leftrightarrow -x – 3 = 0\)
  \(\Leftrightarrow x = -3\)
  Vì \(x = -3\) là một số nguyên, nên \(k=0\) là một giá trị mà \(A\) có thể nhận được.
• Trường hợp 2: Nếu \(k \neq 0\).
  Phương trình (*) là một phương trình bậc hai với các hệ số:
  \(a = k\)
  \(b = -1\)
  \(c = 9k – 3\)

  Để phương trình (*) có nghiệm \(x\), ta phải có biệt thức \(\Delta \ge 0\).
  \[ \Delta = b^2 – 4ac \]
  \[ \Delta = (-1)^2 – 4(k)(9k – 3) \]
  \[ \Delta = 1 – 36k^2 + 12k \]
  Vậy, điều kiện là: \( -36k^2 + 12k + 1 \ge 0 \)

Bước 4: Giải bất phương trình để tìm khoảng giá trị của k

Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị của \(k\) thỏa mãn bất phương trình \(-36k^2 + 12k + 1 \ge 0\). Đây là một tam thức bậc hai có hệ số \(a = -36 < 0\), nên nó sẽ nhận giá trị không âm khi \(k\) nằm trong khoảng hai nghiệm của nó. Ta tìm nghiệm của phương trình \(-36k^2 + 12k + 1 = 0\):
\[ k = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 – 4(-36)(1)}}{2(-36)} \]
\[ k = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 144}}{-72} \]
\[ k = \frac{-12 \pm \sqrt{288}}{-72} = \frac{-12 \pm 12\sqrt{2}}{-72} \]
Rút gọn cho -12, ta được:
\[ k = \frac{1 \mp \sqrt{2}}{6} \]
Vậy phương trình có hai nghiệm là \(k_1 = \frac{1 – \sqrt{2}}{6}\) và \(k_2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{6}\).

Do đó, bất phương trình \(-36k^2 + 12k + 1 \ge 0\) có nghiệm là:
\[ \frac{1 – \sqrt{2}}{6} \le k \le \frac{1 + \sqrt{2}}{6} \]
Ta có \(\sqrt{2} \approx 1.414\), nên:
\[ \frac{1 – 1.414}{6} \le k \le \frac{1 + 1.414}{6} \]
\[ \frac{-0.414}{6} \le k \le \frac{2.414}{6} \]
\[ -0.069 \le k \le 0.402 \]

Bước 5: Kết luận các giá trị nguyên của k và tìm x

Từ các bước trên, ta đã tìm được miền giá trị của \(k\):

• Từ Trường hợp 1, ta có \(k=0\).
• Từ Trường hợp 2, ta có \(-0.069 \le k \le 0.402\).

Vì \(k\) phải là số nguyên (\(k \in \mathbb{Z}\)), kết hợp cả hai trường hợp, giá trị nguyên duy nhất mà \(k\) có thể nhận là \(k = 0\).

Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị \(x\) nguyên tương ứng.
Với \(k = 0\), ta thay vào biểu thức ban đầu:
\[ 0 = \frac{x+3}{x^2+9} \]
Vì mẫu số \(x^2+9 > 0\) với mọi \(x\), phương trình trên tương đương với:
\[ x + 3 = 0 \]
\[ x = -3 \]
Giá trị \(x = -3\) là một số nguyên, thỏa mãn yêu cầu đề bài.

KẾT LUẬN

Vậy, để biểu thức \(A = \frac{x+3}{x^2+9}\) nhận giá trị nguyên thì giá trị nguyên duy nhất của \(x\) là -3. Khi đó, giá trị của biểu thức là 0.

Chúc các em học tốt nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô.