Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rất thú vị về biểu thức đại số, liên quan đến điều kiện \(xyz = 1\). Bài toán này xuất hiện trong chương trình Toán lớp 7 mới, dù cách trình bày có thể khác nhau đôi chút giữa các bộ sách như Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều, nhưng bản chất và phương pháp giải là tương đồng.

Chúng ta sẽ đi từng bước thật chậm rãi để hiểu rõ bản chất của bài toán này nhé!

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định mục tiêu.
Đề bài cho chúng ta một điều kiện rất quan trọng là \(xyz = 1\). Nhiệm vụ của chúng ta là tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{x}{xy+x+1} + \frac{y}{yz+y+1} + \frac{z}{zx+z+1}\).
Nhìn vào biểu thức \(M\), chúng ta thấy có ba phân số cộng lại với nhau. Các mẫu số có vẻ hơi khác nhau, nhưng chúng đều chứa các biến \(x, y, z\) và con số 1. Điều kiện \(xyz = 1\) chắc chắn sẽ đóng vai trò then chốt để “biến hóa” các mẫu số này về cùng một dạng.

Bước 2: Biến đổi các phân số trong biểu thức \(M\) để đưa về cùng mẫu số.
Đây là bước quan trọng nhất. Chúng ta sẽ sử dụng điều kiện \(xyz = 1\) để biến đổi hai trong ba phân số sao cho chúng có mẫu số giống phân số còn lại (hoặc cùng một dạng mẫu số chung).

* Xét phân số thứ nhất: \(\frac{x}{xy+x+1}\)
Phân số này có vẻ “khó chịu” nhất vì có \(xy\) và \(x\). Chúng ta tạm giữ nguyên phân số này.

* Xét phân số thứ hai: \(\frac{y}{yz+y+1}\)
Ở đây, chúng ta thấy có \(yz\). Từ điều kiện \(xyz = 1\), ta có thể suy ra \(xz = \frac{1}{y}\) hoặc \(x = \frac{1}{yz}\).
Tuy nhiên, cách tiếp cận thông minh hơn là chúng ta muốn “kết nối” \(y\) với \(x\) và \(1\).
Từ \(xyz = 1\), ta có \(z = \frac{1}{xy}\).
Thế \(z\) vào mẫu của phân số thứ hai: \(yz+y+1 = y\left(\frac{1}{xy}\right) + y + 1 = \frac{1}{x} + y + 1\).
Vậy phân số thứ hai trở thành \(\frac{y}{\frac{1}{x} + y + 1}\).
Để khử mẫu số phức tạp \(\frac{1}{x} + y + 1\), chúng ta nhân cả tử và mẫu với \(x\):
\(\frac{y \cdot x}{(\frac{1}{x} + y + 1) \cdot x} = \frac{xy}{1 + xy + x}\).
Hoàn hảo! Mẫu số của phân số này bây giờ là \(xy+x+1\), giống với mẫu số của phân số thứ nhất.
Vậy, \(\frac{y}{yz+y+1} = \frac{xy}{xy+x+1}\).

* Xét phân số thứ ba: \(\frac{z}{zx+z+1}\)
Chúng ta muốn mẫu số của phân số này cũng trở thành \(xy+x+1\).
Từ \(xyz = 1\), ta có \(y = \frac{1}{xz}\).
Thế \(y\) vào mẫu của phân số thứ ba: \(zx+z+1\). Chúng ta cần “chèn” \(y\) vào đây.
Cách khác: Sử dụng \(xyz = 1\), ta có \(x = \frac{1}{yz}\) và \(y = \frac{1}{xz}\).
Trong phân số thứ ba, chúng ta có \(zx+z+1\).
Ta thử biến đổi mẫu số này để xuất hiện \(xy\).
Từ \(xyz = 1\), ta có \(x = \frac{1}{yz}\). Nhân cả tử và mẫu của phân số thứ ba với \(y\):
\(\frac{z \cdot y}{(zx+z+1) \cdot y} = \frac{yz}{xyz + zy + y} = \frac{yz}{1 + yz + y}\).
Cách này có vẻ chưa đưa về mẫu số \(xy+x+1\). Chúng ta thử một hướng khác.

Chúng ta muốn mẫu số \(zx+z+1\) trở thành \(xy+x+1\).
Từ \(xyz = 1\), ta có \(z = \frac{1}{xy}\).
Nhân cả tử và mẫu của phân số thứ ba với \(xy\):
\(\frac{z \cdot xy}{(zx+z+1) \cdot xy} = \frac{xyz}{zx \cdot xy + z \cdot xy + xy} = \frac{1}{x^2yz + xyz + xy}\).
Đây cũng chưa ra dạng mong muốn.

Hãy quay lại với việc muốn đưa về mẫu \(xy+x+1\).
Ta có phân số thứ ba: \(\frac{z}{zx+z+1}\).
Từ \(xyz = 1\), ta có \(z = \frac{1}{xy}\).
Chúng ta muốn mẫu số \(zx+z+1\) có dạng \(xy+x+1\).
Nhân cả tử và mẫu của phân số thứ ba với \(y\):
\(\frac{z \cdot y}{(zx+z+1) \cdot y} = \frac{yz}{xyz + zy + y} = \frac{yz}{1 + yz + y}\).
Mẫu này vẫn chưa giống.

Bây giờ, chúng ta hãy thử biến đổi để có cùng một mẫu số chung “thống nhất” hơn.
Ta có:
Phân số 1: \(\frac{x}{xy+x+1}\)
Phân số 2: \(\frac{y}{yz+y+1}\). Đã biến đổi thành \(\frac{xy}{xy+x+1}\).
Phân số 3: \(\frac{z}{zx+z+1}\).
Ta muốn biến đổi phân số 3 sao cho mẫu số liên quan đến \(xy+x+1\).
Từ \(xyz = 1\), ta có \(z = \frac{1}{xy}\).
Nhân cả tử và mẫu của phân số 3 với \(xy\):
\(\frac{z \cdot xy}{(zx+z+1) \cdot xy} = \frac{xyz}{x^2yz + xyz + xy} = \frac{1}{x^2yz + 1 + xy}\).
Vẫn chưa ra.

Cách tiếp cận khác thông minh hơn:
Chúng ta thấy mẫu của phân số 1 là \(xy+x+1\).
Mẫu của phân số 2 là \(yz+y+1\). Ta muốn nó thành \(xy+x+1\).
Ta có \(z = \frac{1}{xy}\). Thay vào \(yz+y+1\): \(y \cdot \frac{1}{xy} + y + 1 = \frac{1}{x} + y + 1\).
Nhân cả tử và mẫu với \(x\): \(\frac{y \cdot x}{(\frac{1}{x} + y + 1) \cdot x} = \frac{xy}{1+xy+x}\).
Vậy phân số 2 là \(\frac{xy}{xy+x+1}\).

Bây giờ xem phân số 3: \(\frac{z}{zx+z+1}\).
Ta muốn mẫu này cũng trở thành \(xy+x+1\).
Từ \(xyz = 1\), ta có \(x = \frac{1}{yz}\).
Nhân cả tử và mẫu của phân số 3 với \(y\):
\(\frac{z \cdot y}{(zx+z+1) \cdot y} = \frac{yz}{xyz + zy + y} = \frac{yz}{1 + zy + y}\).
Vẫn chưa được.

Thử một cách biến đổi khác cho phân số thứ ba:
\(\frac{z}{zx+z+1}\)
Từ \(xyz = 1\), ta có \(x = \frac{1}{yz}\).
Nhân cả tử và mẫu với \(y\):
\(\frac{z \cdot y}{(zx+z+1) \cdot y} = \frac{yz}{xyz+zy+y} = \frac{yz}{1+yz+y}\).

Bây giờ, ta hãy sử dụng \(xyz = 1\) để làm xuất hiện \(x\) và \(1\) ở mẫu của phân số thứ ba.
Ta có \(yz = \frac{1}{x}\).
Thế vào mẫu của phân số thứ ba: \(zx+z+1\).
Chúng ta muốn mẫu này có dạng \(xy+x+1\).
Nhân cả tử và mẫu của phân số 3 với \(xy\):
\(\frac{z \cdot xy}{(zx+z+1) \cdot xy} = \frac{xyz}{x^2yz + xyz + xy} = \frac{1}{x^2yz + 1 + xy}\). Vẫn sai.

Ta thử biến đổi phân số thứ ba để mẫu số có \(x\) và \(1\).
\(\frac{z}{zx+z+1}\).
Từ \(xyz=1\), ta suy ra \(z = \frac{1}{xy}\).
Nhân cả tử và mẫu với \(y\):
\(\frac{z \cdot y}{(zx+z+1) \cdot y} = \frac{yz}{xyz + zy + y} = \frac{yz}{1 + zy + y}\).
Ta biết \(yz = \frac{1}{x}\).
Vậy phân số thứ ba trở thành \(\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x} + y}\).
Đây không phải là dạng ta mong muốn.

Quay lại cách làm ban đầu với mục tiêu đưa về mẫu \(xy+x+1\):
Phân số 1: \(\frac{x}{xy+x+1}\)
Phân số 2: \(\frac{y}{yz+y+1}\)
Biến đổi mẫu: \(yz+y+1\). Vì \(xyz=1\) nên \(z = \frac{1}{xy}\).
\(yz+y+1 = y \cdot \frac{1}{xy} + y + 1 = \frac{1}{x} + y + 1\).
Nhân tử và mẫu với \(x\): \(\frac{y \cdot x}{(\frac{1}{x}+y+1) \cdot x} = \frac{xy}{1+xy+x}\).
Vậy phân số 2 là \(\frac{xy}{xy+x+1}\).

Phân số 3: \(\frac{z}{zx+z+1}\)
Chúng ta muốn mẫu này cũng thành \(xy+x+1\).
Nhân cả tử và mẫu với \(y\):
\(\frac{z \cdot y}{(zx+z+1) \cdot y} = \frac{yz}{xyz+zy+y} = \frac{yz}{1+zy+y}\).
Sử dụng \(xyz=1\), ta có \(yz = \frac{1}{x}\).
Thế vào mẫu: \(1 + z \cdot \frac{1}{xz} + \frac{1}{xz} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{xz}\).
Vẫn chưa đúng.

Chìa khóa ở đây là biến đổi phân số thứ ba sao cho mẫu xuất hiện \(x\) và \(1\).
Ta có phân số thứ ba: \(\frac{z}{zx+z+1}\).
Từ \(xyz = 1\), ta có \(y = \frac{1}{xz}\).
Nhân cả tử và mẫu của phân số 3 với \(y\):
\(\frac{z \cdot y}{(zx+z+1) \cdot y} = \frac{yz}{xyz + zy + y} = \frac{yz}{1 + zy + y}\).
Ta có \(yz = \frac{1}{x}\).
Vậy phân số thứ ba là \(\frac{\frac{1}{x}}{1 + z \cdot y + y}\).
Điều này chưa giúp.

Thử biến đổi phân số 3 bằng cách nhân cả tử và mẫu với \(xy\):
\(\frac{z \cdot xy}{(zx+z+1) \cdot xy} = \frac{xyz}{x^2yz + xyz + xy} = \frac{1}{x(xyz) + 1 + xy} = \frac{1}{x(1) + 1 + xy} = \frac{1}{x+1+xy}\).
À ha! Mẫu số của phân số thứ ba đã trở thành \(xy+x+1\).

Vậy, chúng ta có:
Phân số 1: \(\frac{x}{xy+x+1}\)
Phân số 2: \(\frac{y}{yz+y+1} = \frac{xy}{xy+x+1}\) (đã chứng minh ở trên)
Phân số 3: \(\frac{z}{zx+z+1} = \frac{1}{xy+x+1}\) (đã chứng minh ở trên)

Bước 3: Cộng các phân số đã được quy đồng.
Bây giờ, biểu thức \(M\) trở thành:
\(M = \frac{x}{xy+x+1} + \frac{xy}{xy+x+1} + \frac{1}{xy+x+1}\)

Do các phân số đã có cùng mẫu số là \(xy+x+1\), ta chỉ việc cộng các tử số lại với nhau:
\(M = \frac{x + xy + 1}{xy+x+1}\)

Bước 4: Rút gọn biểu thức và đưa ra kết quả.
Ta thấy tử số \(x + xy + 1\) hoàn toàn giống với mẫu số \(xy+x+1\).
Do đó, \(M = \frac{xy+x+1}{xy+x+1}\).
Với điều kiện \(xy+x+1 \neq 0\) (điều này thường được ngầm hiểu trong các bài toán dạng này, hoặc nếu \(x,y,z\) là số thực dương thì luôn đúng).
Nếu \(xy+x+1 \neq 0\), thì \(M = 1\).

Kết luận:
Với điều kiện \(xyz = 1\), giá trị của biểu thức \(M = \frac{x}{xy+x+1} + \frac{y}{yz+y+1} + \frac{z}{zx+z+1}\) là 1.

Các em thấy đó, chìa khóa của bài toán này chính là việc khéo léo sử dụng điều kiện \(xyz=1\) để “biến hóa” các mẫu số của các phân số thành cùng một dạng, sau đó cộng chúng lại và rút gọn.

Chúc các em học tốt!