Xin chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài tập về cấp số cộng rất thú vị, nằm trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 11 của chúng ta.

Đề bài yêu cầu tìm số số hạng chung trong 2018 số hạng đầu tiên của hai cấp số cộng: \((x_n)\) với các số hạng đầu là 4, 7, 10, … và \((y_n)\) với các số hạng đầu là 1, 6, 11, …

Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng bước để giải bài tập này nhé.

Bước 1: Xác định công thức số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng.

Trước hết, chúng ta cần nhận biết đây là cấp số cộng.
Với cấp số cộng \((x_n)\):
Ta thấy số hạng sau hơn số hạng trước một lượng không đổi.
\(7 – 4 = 3\)
\(10 – 7 = 3\)
Vậy, cấp số cộng \((x_n)\) có số hạng đầu \(x_1 = 4\) và công sai \(d_x = 3\).
Công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng là \(u_n = u_1 + (n-1)d\).
Áp dụng vào cấp số cộng \((x_n)\), ta có:
\(x_n = x_1 + (n-1)d_x\)
\(x_n = 4 + (n-1)3\)
\(x_n = 4 + 3n – 3\)
\(x_n = 3n + 1\) (với \(n \ge 1\))

Với cấp số cộng \((y_n)\):
Ta thấy số hạng sau hơn số hạng trước một lượng không đổi.
\(6 – 1 = 5\)
\(11 – 6 = 5\)
Vậy, cấp số cộng \((y_n)\) có số hạng đầu \(y_1 = 1\) và công sai \(d_y = 5\).
Áp dụng công thức số hạng tổng quát, ta có:
\(y_m = y_1 + (m-1)d_y\)
\(y_m = 1 + (m-1)5\)
\(y_m = 1 + 5m – 5\)
\(y_m = 5m – 4\) (với \(m \ge 1\))

Lưu ý: Ở đây chúng ta dùng chữ \(n\) cho cấp số cộng thứ nhất và \(m\) cho cấp số cộng thứ hai để phân biệt chỉ số của các số hạng trong hai dãy.

Bước 2: Tìm điều kiện để một số hạng là số hạng chung.

Một số hạng \(z\) được gọi là số hạng chung của hai cấp số cộng \((x_n)\) và \((y_n)\) nếu \(z\) vừa thuộc dãy \((x_n)\) vừa thuộc dãy \((y_n)\).
Điều này có nghĩa là tồn tại các số nguyên dương \(n\) và \(m\) sao cho:
\(z = x_n\) và \(z = y_m\)
Do đó, ta có phương trình:
\(x_n = y_m\)
\(3n + 1 = 5m – 4\)

Chúng ta cần tìm các cặp số nguyên dương \((n, m)\) thỏa mãn phương trình này.
Chuyển vế các hằng số, ta được:
\(3n – 5m = -5\)

Đây là một phương trình Diophantine tuyến tính.

Bước 3: Tìm một nghiệm riêng của phương trình Diophantine.

Chúng ta có thể thử một vài giá trị nhỏ cho \(n\) hoặc \(m\) để tìm một nghiệm cụ thể.
Nếu \(m=1\), \(3n – 5(1) = -5 \implies 3n = 0 \implies n = 0\). Nhưng \(n\) phải là số nguyên dương (\(n \ge 1\)), nên \(m=1\) không cho ta nghiệm hợp lệ.
Nếu \(m=2\), \(3n – 5(2) = -5 \implies 3n – 10 = -5 \implies 3n = 5\). \(n = 5/3\), không phải số nguyên.
Nếu \(m=3\), \(3n – 5(3) = -5 \implies 3n – 15 = -5 \implies 3n = 10\). \(n = 10/3\), không phải số nguyên.
Nếu \(m=4\), \(3n – 5(4) = -5 \implies 3n – 20 = -5 \implies 3n = 15 \implies n = 5\).
Vậy, ta tìm được một cặp nghiệm riêng là \((n_0, m_0) = (5, 4)\).
Khi \(n=5\), \(x_5 = 3(5) + 1 = 16\).
Khi \(m=4\), \(y_4 = 5(4) – 4 = 20 – 4 = 16\).
Số hạng chung đầu tiên là 16.

Bước 4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine.

Phương trình là \(3n – 5m = -5\).
Ta có phương trình dạng \(ax + by = c\). Nghiệm tổng quát được cho bởi:
\(n = n_0 + \frac{b}{gcd(a,b)}k\)
\(m = m_0 – \frac{a}{gcd(a,b)}k\)
(hoặc có thể đảo dấu tùy cách thiết lập)

Trong phương trình của chúng ta, \(a=3\), \(b=-5\).
\(gcd(3, -5) = gcd(3, 5) = 1\).
Nghiệm riêng ta tìm được là \(n_0 = 5\), \(m_0 = 4\).

Thay vào công thức nghiệm tổng quát (chú ý dấu của \(b\)):
\(n = 5 + \frac{-5}{1}k = 5 – 5k\)
\(m = 4 – \frac{3}{1}k = 4 – 3k\)

Tuy nhiên, chúng ta đã chọn nghiệm riêng sao cho \(n_0 = 5\) và \(m_0 = 4\). Để phù hợp với dạng chuẩn \(ax + by = c\), ta có thể viết lại phương trình là \(3n + (-5)m = -5\).
Với \(n_0 = 5\) và \(m_0 = 4\).
\(n = n_0 + \frac{b’}{gcd(a,b’)}k = 5 + \frac{-5}{1}k = 5 – 5k\)
\(m = m_0 – \frac{a}{gcd(a,b’)}k = 4 – \frac{3}{1}k = 4 – 3k\)
với \(k\) là một số nguyên.

Tuy nhiên, cách biểu diễn này sẽ cho \(n\) giảm khi \(k\) tăng, \(m\) giảm khi \(k\) tăng. Để \(n\) và \(m\) tăng lên (vì chúng ta đang tìm các số hạng sau), ta nên thay đổi cách biểu diễn một chút hoặc xét dấu của \(k\).

Chúng ta hãy viết lại phương trình là \(3n = 5m – 5\).
Từ \(3n – 5m = -5\), ta có \(3n = 5m – 5\).
Do \(3n\) chia hết cho 3, nên \(5m – 5\) phải chia hết cho 3.
\(5m – 5 \equiv 0 \pmod{3}\)
\(2m – 2 \equiv 0 \pmod{3}\)
\(2m \equiv 2 \pmod{3}\)
Chia cả hai vế cho 2 (vì gcd(2,3)=1), ta được:
\(m \equiv 1 \pmod{3}\)
Vậy, \(m\) có dạng \(m = 3k + 1\), với \(k\) là một số nguyên.
Do \(m \ge 1\), ta có \(3k+1 \ge 1 \implies 3k \ge 0 \implies k \ge 0\).
Do đó, \(k\) là một số nguyên không âm.

Thay \(m = 3k + 1\) vào \(3n = 5m – 5\):
\(3n = 5(3k + 1) – 5\)
\(3n = 15k + 5 – 5\)
\(3n = 15k\)
\(n = 5k\)

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là \(n = 5k\) và \(m = 3k + 1\), với \(k\) là số nguyên không âm (\(k \ge 0\)).
Kiểm tra lại:
Nếu \(k=0\): \(n=0\), \(m=1\). Ta đã loại trường hợp \(n=0\). Vậy \(k\) phải bắt đầu từ \(k=1\).
Nếu \(k=1\): \(n=5\), \(m=4\). Đây là nghiệm riêng chúng ta tìm được.
Nếu \(k=2\): \(n=10\), \(m=7\). \(x_{10} = 3(10) + 1 = 31\). \(y_7 = 5(7) – 4 = 35 – 4 = 31\).
Nếu \(k=3\): \(n=15\), \(m=10\). \(x_{15} = 3(15) + 1 = 46\). \(y_{10} = 5(10) – 4 = 50 – 4 = 46\).

Do \(n\) và \(m\) là chỉ số của các số hạng, nên chúng phải là số nguyên dương (\(n \ge 1, m \ge 1\)).
Với \(n = 5k\), ta cần \(5k \ge 1\), suy ra \(k \ge 1/5\). Vì \(k\) nguyên, \(k \ge 1\).
Với \(m = 3k + 1\), ta cần \(3k+1 \ge 1\), suy ra \(3k \ge 0\), \(k \ge 0\).
Kết hợp cả hai điều kiện, ta cần \(k\) là số nguyên và \(k \ge 1\).

Các số hạng chung là những số hạng mà chỉ số \(n\) của chúng có dạng \(n = 5k\) và chỉ số \(m\) của chúng có dạng \(m = 3k + 1\), với \(k\) là số nguyên dương (\(k \ge 1\)).

Bước 5: Xác định số hạng chung trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số.

Cấp số cộng \((x_n)\) có 2018 số hạng đầu tiên, tức là \(1 \le n \le 2018\).
Cấp số cộng \((y_n)\) có 2018 số hạng đầu tiên, tức là \(1 \le m \le 2018\).

Chúng ta cần tìm các giá trị của \(k\) sao cho cả \(n\) và \(m\) đều nằm trong phạm vi này.
Ta có \(n = 5k\). Điều kiện \(1 \le n \le 2018\) trở thành:
\(1 \le 5k \le 2018\)
Chia cả ba vế cho 5:
\(1/5 \le k \le 2018/5\)
\(0.2 \le k \le 403.6\)
Vì \(k\) là số nguyên dương, ta có \(1 \le k \le 403\).

Bây giờ xét điều kiện cho \(m\): \(m = 3k + 1\).
Ta cần \(1 \le m \le 2018\):
\(1 \le 3k + 1 \le 2018\)
Trừ 1 ở cả ba vế:
\(0 \le 3k \le 2017\)
Chia cả ba vế cho 3:
\(0 \le k \le 2017/3\)
\(0 \le k \le 672.33…\)
Vì \(k\) là số nguyên, ta có \(0 \le k \le 672\).

Để một số hạng là số hạng chung, nó phải thỏa mãn cả hai điều kiện về \(n\) và \(m\).
Chúng ta đã tìm được \(k\) phải là số nguyên dương (\(k \ge 1\)).
Kết hợp các điều kiện cho \(k\):
Từ \(n\), ta có \(1 \le k \le 403\).
Từ \(m\), ta có \(k\) là số nguyên sao cho \(0 \le k \le 672\).
Do \(k \ge 1\), nên điều kiện \(k \ge 0\) từ \(m\) là đã được bao hàm bởi \(k \ge 1\).

Vậy, để một số hạng là số hạng chung và nằm trong 2018 số hạng đầu tiên của cả hai dãy, chỉ số \(k\) của nó phải thỏa mãn đồng thời:
\(1 \le k \le 403\) (từ điều kiện của \(n\))
\(1 \le k \le 672\) (vì \(k \ge 1\) từ điều kiện của \(m\))

Điều kiện chung cho \(k\) là: \(k\) là số nguyên và \(1 \le k \le \min(403, 672)\).
\(1 \le k \le 403\).

Vậy, các giá trị của \(k\) có thể là \(1, 2, 3, …, 403\).
Số lượng các giá trị của \(k\) chính là số số hạng chung.
Số lượng giá trị này là \(403 – 1 + 1 = 403\).

Kết luận:

Trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số, có 403 số hạng chung.

Chúc các em học tốt! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.