Chào các em học sinh thân mến!
Cô là giáo viên bộ môn Toán. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết bài toán chứng minh một đẳng thức lượng giác rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình lớp 10. Việc nắm vững cách chứng minh các đẳng thức này sẽ là nền tảng vững chắc để các em giải quyết các bài toán phức tạp hơn sau này.

Phương pháp phổ biến và hiệu quả nhất để chứng minh một đẳng thức là biến đổi một vế phức tạp hơn thành vế đơn giản hơn. Trong trường hợp này, ta sẽ biến đổi vế trái (VT) là \(1+cot^2\alpha\) để xem nó có bằng vế phải (VP) là \(1/{sin^2\alpha}\) hay không.

Trước khi bắt đầu, chúng ta cần nhớ lại một vài kiến thức cốt lõi.

• Kiến thức 1: Định nghĩa của cotang. Chúng ta biết rằng:
  \(cot\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}\) (với điều kiện \(sin\alpha \neq 0\)).
• Kiến thức 2: Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản (hệ thức Pythagorean trong đường tròn lượng giác). Đây là công thức quan trọng nhất các em cần ghi nhớ:
  \(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này để chứng minh bài toán.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Chúng ta sẽ bắt đầu từ vế trái (VT) của đẳng thức.

Bước 1: Thay định nghĩa của \(cot\alpha\) vào biểu thức

Ta có vế trái:
\[VT = 1 + cot^2\alpha\]
Áp dụng công thức định nghĩa \(cot\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}\), ta được:
\[VT = 1 + \left(\frac{cos\alpha}{sin\alpha}\right)^2\]
\[VT = 1 + \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}\]

Bước 2: Quy đồng mẫu số để cộng hai số hạng lại với nhau

Để cộng \(1\) với phân thức \(\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}\), ta đưa \(1\) về dạng phân thức có mẫu số là \(sin^2\alpha\):
\[VT = \frac{sin^2\alpha}{sin^2\alpha} + \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}\]
Bây giờ, ta cộng hai phân thức có cùng mẫu số:
\[VT = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin^2\alpha}\]

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

Ở tử số của biểu thức, ta thấy xuất hiện \(sin^2\alpha + cos^2\alpha\). Áp dụng hằng đẳng thức \(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\), ta thay vào tử số:
\[VT = \frac{1}{sin^2\alpha}\]

Bước 4: So sánh kết quả với vế phải (VP)

Ta thấy kết quả sau khi biến đổi vế trái là \(\frac{1}{sin^2\alpha}\), bằng đúng với vế phải của đẳng thức cần chứng minh.

Kết luận

Vì \(VT = VP\), nên đẳng thức đã được chứng minh.
\[1+cot^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}\]
(với điều kiện \(sin\alpha \neq 0\)).

Như vậy, chỉ bằng cách sử dụng định nghĩa của cotang và hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, chúng ta đã dễ dàng chứng minh được bài toán. Đây là một đẳng thức quan trọng, các em hãy ghi nhớ để vận dụng sau này nhé.

Chúc các em học tốt