Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập quen thuộc trong chương lượng giác, đó là chứng minh một trong những công thức lượng giác cơ bản. Bài tập này nằm trong phần kiến thức về các công thức lượng giác trong chương trình Toán lớp 10 theo cả ba bộ sách: Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo và Cánh diều.

Chúng ta sẽ cùng nhau đi từng bước thật chi tiết nhé!

Lời giải:

Để chứng minh đẳng thức \(1+cot^2\alpha=1/{sin^2\alpha}\), chúng ta sẽ xuất phát từ một trong hai vế của đẳng thức và biến đổi để đi đến vế còn lại, hoặc biến đổi cả hai vế để chúng cùng bằng một biểu thức trung gian. Thông thường, chúng ta sẽ chọn vế “phức tạp” hơn để biến đổi. Trong trường hợp này, vế trái \(1+cot^2\alpha\) có vẻ “phức tạp” hơn một chút.

Bước 1: Biến đổi vế trái của đẳng thức.

Chúng ta có vế trái là \(1+cot^2\alpha\).
Để biến đổi, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa của cotang. Theo định nghĩa, ta có:
\(cot\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}\).

Lý do áp dụng: Định nghĩa cơ bản của các tỉ số lượng giác giúp chúng ta đưa về các biểu thức quen thuộc hơn, ở đây là sin và cos.

Thay định nghĩa này vào biểu thức ban đầu, ta được:
\(1+cot^2\alpha = 1 + (\frac{cos\alpha}{sin\alpha})^2\)

Bước 2: Thực hiện phép bình phương và quy đồng mẫu số.

Tiếp tục biến đổi biểu thức:
\(1 + (\frac{cos\alpha}{sin\alpha})^2 = 1 + \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}\)

Để cộng hai số hạng này lại, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \(sin^2\alpha\).
\(1 + \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} = \frac{sin^2\alpha}{sin^2\alpha} + \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}\)

Lý do áp dụng: Quy tắc cộng phân số, đây là một kỹ năng đại số cơ bản.

Sau khi quy đồng, ta cộng tử số lại:
\(\frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin^2\alpha}\)

Bước 3: Áp dụng công thức lượng giác cơ bản.

Bây giờ, chúng ta nhìn vào tử số: \(sin^2\alpha + cos^2\alpha\). Đây là một công thức lượng giác vô cùng quan trọng và quen thuộc mà chúng ta đã học. Công thức này được gọi là “công thức lượng giác cơ bản” hoặc “hằng đẳng thức Pitago”.
Ta có: \(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\).

Lý do áp dụng: Công thức này là nền tảng của lượng giác, nó liên hệ trực tiếp giữa sin và cos của cùng một góc, và nó giúp đơn giản hóa biểu thức của chúng ta một cách mạnh mẽ.

Thay công thức này vào biểu thức, ta được:
\(\frac{1}{sin^2\alpha}\)

Bước 4: So sánh với vế phải.

Chúng ta đã biến đổi vế trái \(1+cot^2\alpha\) và thu được kết quả là \(\frac{1}{sin^2\alpha}\).
Vế phải của đẳng thức ban đầu là \(\frac{1}{sin^2\alpha}\).

Như vậy, chúng ta thấy rằng vế trái đã bằng vế phải.

Kết luận:

Do đó, \(1+cot^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}\) (với \(sin\alpha \neq 0\)).

Đẳng thức đã được chứng minh.

Lưu ý: Chúng ta cần điều kiện \(sin\alpha \neq 0\) để \(cot\alpha\) được xác định và để mẫu số \(sin^2\alpha\) khác 0. Điều này tương ứng với \(\alpha \neq k\pi\), với k là số nguyên.

Các em thấy không, chỉ với vài bước biến đổi dựa trên định nghĩa và các công thức lượng giác cơ bản, chúng ta đã hoàn thành bài chứng minh. Hãy ghi nhớ công thức này và cách chúng ta đã đi đến nó nhé!