Chứng minh công thức đạo hàm y = tanx

Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách chứng minh một công thức đạo hàm rất quan trọng, đó là đạo hàm của hàm số $y=\tan x$. Đây là một nội dung cơ bản và cần thiết trong chương trình Toán 11 của chúng ta.

Để chứng minh công thức này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức đã học về đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và các công thức đạo hàm cơ bản của hàm lượng giác. Cụ thể, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương và một số hằng đẳng thức lượng giác quen thuộc.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng bắt đầu từng bước một nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Viết lại hàm số $y=\tan x$ dưới dạng thương của hai hàm số.

Theo định nghĩa của hàm tang, ta có:

$$y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

Giải thích: Chúng ta cần làm điều này vì đạo hàm của hàm tang không có công thức trực tiếp, nhưng khi biểu diễn nó dưới dạng thương của sinx và cosx, chúng ta có thể áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương đã học.

Bước 2: Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương.

Quy tắc đạo hàm của một thương được phát biểu như sau: Nếu $y=\frac{u}{v}$ thì $y^{\prime }={\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Trong trường hợp này, ta đặt:

• $u=\sin x$
• $v=\cos x$

Tiếp theo, chúng ta cần tìm đạo hàm của $u$ và $v$:

• Đạo hàm của $u=\sin x$ là $u^{\prime }=(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$.
• Đạo hàm của $v=\cos x$ là $v^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.

Bây giờ, chúng ta thế các giá trị $u,u^{\prime },v,v^{\prime }$ vào công thức đạo hàm của một thương:

$$y^{\prime }={(\tan x)}^{\prime }={\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\prime }=\frac{(\sin x{)}^{\prime }\cos x-\sin x(\cos x{)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}$$

$$y^{\prime }=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}$$

$$y^{\prime }=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$$

Bước 3: Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác để rút gọn biểu thức.

Chúng ta biết rằng có một hằng đẳng thức lượng giác cơ bản là ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Giải thích: Hằng đẳng thức này giúp chúng ta đơn giản hóa tử số của phân thức, từ đó đưa về dạng công thức đạo hàm cuối cùng.

Áp dụng hằng đẳng thức này vào biểu thức của $y^{\prime }$, ta được:

$$y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

Bước 4: Viết lại kết quả dưới dạng khác (nếu có).

Chúng ta cũng biết rằng $\frac{1}{\cos x}=\sec x$. Do đó, $\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$.
Ngoài ra, từ hằng đẳng thức ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, khi chia cả hai vế cho ${\cos }^{2}x$ (với điều kiện $\cos x\ne 0$), ta sẽ có $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, hay ${\tan }^{2}x+1=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

Vậy ta có thể viết kết quả dưới các dạng tương đương sau:

$${(\tan x)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

Hoặc:

$${(\tan x)}^{\prime }=1+{\tan }^{2}x$$

Kết luận:

Vậy, chúng ta đã chứng minh được công thức đạo hàm của hàm số $y=\tan x$ là:

$${(\tan x)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

hoặc ${(\tan x)}^{\prime }=1+{\tan }^{2}x$.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách chứng minh và hiểu rõ hơn về công thức đạo hàm của hàm tang. Hãy luyện tập thêm để ghi nhớ các công thức và quy tắc đạo hàm nhé!