chứng minh công thức g=GM/(R+h)2
Để chứng minh công thức \( g = \frac{GM}{(R+h)^2} \), chúng ta sẽ dựa vào hai khái niệm chính đã học:
1. Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton.
2. Định luật II Newton về lực và gia tốc.
Chúng ta sẽ đi từng bước một để làm rõ vấn đề này.
Bước 1: Xét lực hấp dẫn tác dụng lên một vật gần bề mặt Trái Đất.
Giả sử chúng ta có một vật có khối lượng \( m \) đang ở một độ cao \( h \) so với bề mặt của một hành tinh có khối lượng \( M \) và bán kính \( R \). Trong trường hợp này, chúng ta có thể xem Trái Đất là một khối cầu đồng nhất, và toàn bộ khối lượng \( M \) của nó tập trung tại tâm.
Theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton, lực hấp dẫn \( F_{hd} \) giữa hai vật có khối lượng \( M \) và \( m \) đặt cách nhau một khoảng \( r \) là:
\[ F_{hd} = G \frac{Mm}{r^2} \]
trong đó \( G \) là hằng số hấp dẫn.
Khi vật có khối lượng \( m \) ở độ cao \( h \) so với bề mặt Trái Đất, khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vật đó là \( r = R + h \).
Vậy, lực hấp dẫn tác dụng lên vật có khối lượng \( m \) ở độ cao \( h \) là:
\[ F_{hd} = G \frac{Mm}{(R+h)^2} \]
Bước 2: Áp dụng định luật II Newton cho vật chịu tác dụng của lực hấp dẫn.
Khi vật có khối lượng \( m \) rơi dưới tác dụng của lực hấp dẫn (bỏ qua sức cản của không khí), nó sẽ có một gia tốc. Gia tốc này chính là gia tốc trọng trường \( g \) tại độ cao đó.
Theo định luật II Newton, lực tổng hợp \( \vec{F} \) tác dụng lên một vật có khối lượng \( m \) gây ra cho nó một gia tốc \( \vec{a} \) được biểu diễn bởi công thức:
\[ \vec{F} = m\vec{a} \]
Trong trường hợp này, lực tổng hợp tác dụng lên vật chính là lực hấp dẫn \( F_{hd} \), và gia tốc của vật chính là gia tốc trọng trường \( g \) (hướng về tâm Trái Đất). Do đó, chúng ta có thể viết:
\[ F_{hd} = m g \]
Bước 3: Đồng nhất hai biểu thức để suy ra công thức tính \( g \).
Bây giờ, chúng ta sẽ đồng nhất biểu thức của lực hấp dẫn từ Bước 1 với biểu thức của lực hấp dẫn từ Bước 2.
Ta có:
\[ G \frac{Mm}{(R+h)^2} = m g \]
Chia cả hai vế của phương trình cho \( m \) (vì \( m \neq 0 \)), ta được:
\[ g = G \frac{M}{(R+h)^2} \]
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được công thức tính gia tốc trọng trường \( g \) tại một điểm có độ cao \( h \) so với bề mặt Trái Đất là \( g = \frac{GM}{(R+h)^2} \).
Lưu ý quan trọng:
* Công thức này cho thấy gia tốc trọng trường giảm dần khi độ cao \( h \) tăng lên, vì mẫu số \( (R+h)^2 \) tăng lên.
* Ở bề mặt Trái Đất, \( h = 0 \), nên công thức trở thành \( g_0 = \frac{GM}{R^2} \), là giá trị gia tốc trọng trường gần đúng tại bề mặt.
Các em đã theo dõi kịp các bước chứng minh chưa nào? Nếu có gì thắc mắc, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé.
Trọng lực là lực hấp dẫn giữa Trái Đất (M) và vật (m)
\(→ P=F_{hd}\)
\(↔ mg=G\dfrac{Mm}{(R+h)^{2}}\)
\(→ g=\dfrac{GM}{(R+h)^{2}}\)