Chứng minh : Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
Để chứng minh định lý này, chúng ta sẽ đi từng bước một, dựa trên kiến thức mà các em đã học ở chương trình lớp 9 nhé.
Bước 1: Tóm tắt giả thiết và kết luận của bài toán.
Chúng ta cần hiểu rõ cái gì đã cho (giả thiết) và cái gì cần chứng minh (kết luận).
Giả sử chúng ta có một đường tròn tâm O.
Giả thiết: Có hai cung bằng nhau trên đường tròn đó.
Ví dụ: Cung AB bằng cung CD (ký hiệu là \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{CD}\)).
Kết luận: Hai dây căng hai cung đó bằng nhau.
Tức là cần chứng minh dây AB bằng dây CD (ký hiệu là \(AB = CD\)).
Bước 2: Vẽ hình minh họa.
Một hình vẽ rõ ràng sẽ giúp chúng ta dễ dàng hình dung bài toán hơn.
Các em hãy vẽ một đường tròn tâm O.
Trên đường tròn đó, vẽ hai cung bằng nhau \(\stackrel\frown{AB}\) và \(\stackrel\frown{CD}\).
Nối A với B để tạo thành dây AB.
Nối C với D để tạo thành dây CD.
Bước 3: Sử dụng kiến thức về cung và dây để đưa ra lập luận.
Chúng ta cần nhớ lại mối liên hệ giữa độ lớn của cung và độ lớn của dây tương ứng.
Trong một đường tròn:
– Cung nhỏ hơn căng dây nhỏ hơn.
– Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
– Hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau. (Đây chính là điều chúng ta cần chứng minh, nên ta chưa dùng trực tiếp để suy luận cho cả định lý, nhưng có thể dùng các định lý con liên quan).
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, phương pháp phổ biến nhất trong hình học phẳng lớp 9 là sử dụng tam giác bằng nhau. Vậy, chúng ta sẽ cố gắng tạo ra hai tam giác chứa hai dây AB và CD, sau đó chứng minh hai tam giác này bằng nhau.
Xét tam giác OAB và tam giác OCD (với O là tâm đường tròn).
* OA = OC (bán kính của đường tròn).
* OB = OD (bán kính của đường tròn).
Bây giờ, chúng ta cần tìm thêm một yếu tố bằng nhau nữa để hai tam giác này bằng nhau theo các trường hợp đã học (c.c.c, c.g.c, g.c.g). Yếu tố đó có thể là góc ở tâm hoặc cạnh thứ ba.
Bước 4: Sử dụng giả thiết hai cung bằng nhau để suy ra yếu tố bằng nhau cần thiết cho hai tam giác.
Chúng ta có giả thiết \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{CD}\).
Trong chương trình lớp 9, chúng ta đã được học: “Số đo của cung bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó”.
Do đó, nếu \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{CD}\) thì số đo của cung AB bằng số đo của cung CD.
Suy ra, góc ở tâm chắn cung AB sẽ bằng góc ở tâm chắn cung CD.
Tức là, \(\angle AOB = \angle COD\).
Bước 5: Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Bây giờ, chúng ta đã có đủ yếu tố để chứng minh tam giác OAB bằng tam giác OCD:
Xét tam giác OAB và tam giác OCD:
1. OA = OC (bán kính)
2. OB = OD (bán kính)
3. \(\angle AOB = \angle COD\) (chứng minh ở Bước 4)
Theo trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác (c.g.c), ta có:
\(\Delta OAB = \Delta OCD\) (c.g.c)
Bước 6: Suy ra kết luận từ hai tam giác bằng nhau.
Vì \(\Delta OAB = \Delta OCD\), nên các cạnh tương ứng của hai tam giác này sẽ bằng nhau.
Trong đó, cạnh AB của tam giác OAB và cạnh CD của tam giác OCD là hai cạnh tương ứng.
Do đó, ta có:
\(AB = CD\).
Đây chính là điều chúng ta cần chứng minh.
Tổng kết lại toàn bộ lời giải:
Cho đường tròn tâm O.
Giả sử có hai cung bằng nhau \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{CD}\).
Cần chứng minh \(AB = CD\).
Chứng minh:
Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OCD\):
1. OA = OC (cùng bán kính)
2. OB = OD (cùng bán kính)
3. \(\angle AOB = \angle COD\) (vì hai cung bằng nhau chắn hai góc ở tâm bằng nhau)
Suy ra \(\Delta OAB = \Delta OCD\) (c.g.c)
Do đó \(AB = CD\) (hai cạnh tương ứng).
Vậy, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
Các em thấy không, chỉ cần áp dụng kiến thức về góc ở tâm chắn cung và trường hợp bằng nhau của tam giác, chúng ta đã chứng minh được định lý này một cách dễ dàng. Hãy ghi nhớ định lý này vì nó rất quan trọng trong các bài toán sau này nhé!
Để chứng minh, ta sử dụng các định lý và tính chất trong hình học.
Giả sử ta có hai cung \(AB\) và \(CD\) trên đường tròn \((O)\) bằng nhau và hai dây \(AB\), \(CD\) bằng nhau.
Theo định lý về dây và cung trong hình tròn, nếu hai dây của một hình tròn bằng nhau thì hai cung tương ứng cũng bằng nhau. Vậy nên, hai cung \(AB\) và \(CD\)phải bằng nhau.
Ngược lại, nếu hai cung của một hình tròn bằng nhau thì hai dây tương ứng cũng bằng nhau. Vậy nên, hai dây AB và CD phải bằng nhau.
Vậy ta đã chứng minh được rằng “Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau”.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Định lí 1 Xét trong phạm vi là một đường tròn hoặc các đường tròn có độ lớn bằng nhau, ta có những tính chất sau:
– Hai cung có độ lớn bằng nhau thì căng được hai dây cung có độ lớn cũng bằng nhau.
– Ngược lại, có nghĩa là nếu hai dây cung có độ lớn bằng nhau thì căng được hai cung có độ lớn bằng nhau.