Chào em, rất vui được hướng dẫn em giải bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác này! Đây là một dạng bài rất hay, giúp chúng ta củng cố các công thức biến đổi và nâng cao tư duy logic.

Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức:
\[sin^4x+cos^4x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x\]
Để giải quyết bài toán này, thầy trò mình sẽ biến đổi vế trái (VT) để nó trở thành vế phải (VP) nhé.

***

Bước 1: Biến đổi vế trái bằng cách sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ
Chúng ta có vế trái là:
\[VT = sin^4x+cos^4x\]
Ta nhận thấy rằng \(sin^4x\) có thể viết là \((sin^2x)^2\) và \(cos^4x\) có thể viết là \((cos^2x)^2\).
Vậy biểu thức này có dạng \(a^2+b^2\) với \(a=sin^2x\) và \(b=cos^2x\).
Để đơn giản hóa biểu thức này, chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức:
\[a^2+b^2 = (a+b)^2 – 2ab\]
*Lý do áp dụng công thức này:* Vì khi đó ta sẽ có \((sin^2x+cos^2x)^2\), mà \(sin^2x+cos^2x = 1\) là một công thức cơ bản và rất quan trọng, giúp biểu thức được rút gọn đáng kể.

Áp dụng vào vế trái, ta được:
\[VT = (sin^2x)^2+(cos^2x)^2\]
\[VT = (sin^2x+cos^2x)^2 – 2sin^2xcos^2x\]
Bây giờ, chúng ta thay \(sin^2x+cos^2x=1\) vào biểu thức:
\[VT = (1)^2 – 2sin^2xcos^2x\]
\[VT = 1 – 2sin^2xcos^2x\]

***

Bước 2: Sử dụng công thức nhân đôi để đưa về \(sin2x\)
Đến đây, chúng ta có hạng tử \(2sin^2xcos^2x\).
Chúng ta nhận thấy rằng hạng tử này có liên quan đến công thức nhân đôi của sin:
\[sin2x = 2sinxcosx\]
Nếu bình phương cả hai vế của công thức này, ta sẽ được:
\[(sin2x)^2 = (2sinxcosx)^2\]
\[sin^22x = 4sin^2xcos^2x\]
*Lý do áp dụng công thức này:* Mục tiêu của chúng ta là đưa về \(\cos4x\), nên việc đưa về \(\sin2x\) là một bước trung gian hợp lý để sau này có thể hạ bậc về \(\cos4x\).

Từ \(sin^22x = 4sin^2xcos^2x\), ta suy ra:
\[2sin^2xcos^2x = \frac{1}{2} (4sin^2xcos^2x) = \frac{1}{2}sin^22x\]
Thay vào biểu thức của VT ở Bước 1, ta có:
\[VT = 1 – \frac{1}{2}sin^22x\]

***

Bước 3: Hạ bậc của \(sin^22x\) để đưa về \(\cos4x\)
Giờ chúng ta đã có biểu thức \(1 – \frac{1}{2}sin^22x\).
Mục tiêu cuối cùng là \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x\), nên chúng ta cần biến đổi \(sin^22x\) về \(\cos4x\).
Chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc của \(sin^2\alpha\), đây cũng là một hệ quả của công thức nhân đôi của cos:
\[cos2\alpha = 1 – 2sin^2\alpha\]
Từ công thức này, ta suy ra:
\[2sin^2\alpha = 1 – cos2\alpha\]
\[sin^2\alpha = \frac{1 – cos2\alpha}{2}\]
*Lý do áp dụng công thức này:* Đây là công thức hạ bậc trực tiếp giúp chúng ta giảm bậc của lũy thừa và tăng gấp đôi góc, từ \(2x\) lên \(4x\), chính là điều chúng ta cần để có \(\cos4x\).

Áp dụng công thức hạ bậc trên với \(\alpha = 2x\), ta được:
\[sin^2(2x) = \frac{1 – cos(2 \cdot 2x)}{2}\]
\[sin^22x = \frac{1 – cos4x}{2}\]
Bây giờ, chúng ta thay biểu thức này vào VT đã có ở Bước 2:
\[VT = 1 – \frac{1}{2} \left( \frac{1 – cos4x}{2} \right)\]
\[VT = 1 – \frac{1 – cos4x}{4}\]
Để cộng trừ phân số, chúng ta quy đồng mẫu số:
\[VT = \frac{4}{4} – \frac{1 – cos4x}{4}\]
\[VT = \frac{4 – (1 – cos4x)}{4}\]
Hãy cẩn thận với dấu trừ trước ngoặc nhé:
\[VT = \frac{4 – 1 + cos4x}{4}\]
\[VT = \frac{3 + cos4x}{4}\]
Cuối cùng, chúng ta tách phân số ra:
\[VT = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}cos4x\]

***

Kết luận:
Chúng ta đã biến đổi vế trái \(sin^4x+cos^4x\) thành \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x\).
Vậy, vế trái bằng vế phải (VT = VP).
Do đó, đẳng thức đã được chứng minh:
\[sin^4x+cos^4x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x\]

Em thấy đấy, bài toán này không quá khó nếu chúng ta biết cách “nhìn” ra các công thức quen thuộc và áp dụng chúng một cách hợp lý. Quan trọng nhất là nắm vững các công thức cơ bản và hằng đẳng thức nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!