Chào các em học sinh lớp 10! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập về chứng minh đẳng thức lượng giác, một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán học của chúng ta.

Chúng ta cần chứng minh rằng:

(1 – sin2a) / cos2a = (1 – tana) / (1 + tana)

Để chứng minh một đẳng thức, chúng ta có thể đi từ một vế và biến đổi nó về vế còn lại, hoặc biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian. Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em đi từ vế trái và biến đổi nó về vế phải.

Chúng ta bắt đầu với vế trái:

VT = (1 – sin2a) / cos2a

Trước hết, cô muốn nhắc lại một số công thức lượng giác cơ bản mà chúng ta đã học ở chương này. Các em còn nhớ công thức hạ bậc, công thức cộng, công thức nhân đôi không nào?

Chúng ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi cho sin2a và cos2a:

sin2a = 2sin(a)cos(a)

cos2a có ba công thức là cos^2(a) – sin^2(a), 2cos^2(a) – 1, và 1 – 2sin^2(a). Để tiện cho việc biến đổi về tana, chúng ta sẽ sử dụng công thức:

cos2a = cos^2(a) – sin^2(a)

Bây giờ, chúng ta thay thế vào biểu thức VT:

VT = (1 – 2sin(a)cos(a)) / (cos^2(a) – sin^2(a))

Tiếp theo, chúng ta sẽ biến đổi tử số. Các em để ý thấy, 1 có thể được viết dưới dạng sin^2(a) + cos^2(a). Đây là một hằng đẳng thức lượng giác cơ bản mà chúng ta cần nhớ.

Vậy, tử số sẽ là:

1 – 2sin(a)cos(a) = sin^2(a) + cos^2(a) – 2sin(a)cos(a)

Biểu thức này quen thuộc với chúng ta rồi đúng không? Nó chính là hằng đẳng thức (b – a)^2 = b^2 – 2ab + a^2. Vậy, ta có:

sin^2(a) + cos^2(a) – 2sin(a)cos(a) = (cos(a) – sin(a))^2

Bây giờ, chúng ta xét mẫu số:

cos^2(a) – sin^2(a)

Đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: a^2 – b^2 = (a – b)(a + b). Vậy, ta có:

cos^2(a) – sin^2(a) = (cos(a) – sin(a))(cos(a) + sin(a))

Ghép tử và mẫu lại, ta có VT là:

VT = (cos(a) – sin(a))^2 / ((cos(a) – sin(a))(cos(a) + sin(a)))

Với điều kiện cos(a) – sin(a) khác 0 (tức là a khác pi/4 + k*pi) và cos(a) + sin(a) khác 0 (tức là a khác -pi/4 + k*pi), chúng ta có thể rút gọn biểu thức này bằng cách chia cả tử và mẫu cho (cos(a) – sin(a)):

VT = (cos(a) – sin(a)) / (cos(a) + sin(a))

Bây giờ, để biến đổi về vế phải, chúng ta sẽ chia cả tử và mẫu của biểu thức này cho cos(a).

Lưu ý: Chúng ta chỉ có thể chia cho cos(a) nếu cos(a) khác 0. Nếu cos(a) = 0, thì a = pi/2 + k*pi, lúc đó tana sẽ không xác định. Do đó, bài toán này chúng ta ngầm hiểu là với các giá trị a mà các biểu thức đều xác định.

VT = [(cos(a) – sin(a)) / cos(a)] / [(cos(a) + sin(a)) / cos(a)]

Phân tích từng phần:

(cos(a) – sin(a)) / cos(a) = cos(a)/cos(a) – sin(a)/cos(a) = 1 – tana

(cos(a) + sin(a)) / cos(a) = cos(a)/cos(a) + sin(a)/cos(a) = 1 + tana

Vậy, VT trở thành:

VT = (1 – tana) / (1 + tana)

Đây chính là vế phải của đẳng thức mà chúng ta cần chứng minh.

VP = (1 – tana) / (1 + tana)

Vậy, ta đã chứng minh được VT = VP.

Tóm tắt các bước:
1. Bắt đầu từ vế trái:
(1 – sin2a) / cos2a
2. Áp dụng công thức nhân đôi:
sin2a = 2sin(a)cos(a)
cos2a = cos^2(a) – sin^2(a)
3. Thay vào biểu thức:
(1 – 2sin(a)cos(a)) / (cos^2(a) – sin^2(a))
4. Biến đổi tử số sử dụng hằng đẳng thức 1 = sin^2(a) + cos^2(a):
(sin^2(a) + cos^2(a) – 2sin(a)cos(a)) / (cos^2(a) – sin^2(a)) = (cos(a) – sin(a))^2 / (cos^2(a) – sin^2(a))
5. Biến đổi mẫu số sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
(cos(a) – sin(a))^2 / ((cos(a) – sin(a))(cos(a) + sin(a)))
6. Rút gọn biểu thức:
(cos(a) – sin(a)) / (cos(a) + sin(a))
7. Chia cả tử và mẫu cho cos(a):
[(cos(a) – sin(a)) / cos(a)] / [(cos(a) + sin(a)) / cos(a)]
8. Đổi sang tana:
(1 – tana) / (1 + tana)

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh đẳng thức. Các em về nhà luyện tập thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức hơn nhé!