Cô là giáo viên dạy Toán lớp 6. Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức rất hay và thường gặp trong các kỳ thi. Dạng toán này thoạt nhìn có vẻ phức tạp vì có rất nhiều số hạng, nhưng nếu chúng ta biết cách áp dụng phương pháp phù hợp thì bài toán sẽ trở nên rất đơn giản.

Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này bằng phương pháp “Nhân và trừ”. Đây là một phương pháp rất hiệu quả để tính tổng của một dãy phân số có quy luật, đặc biệt là khi các mẫu số là lũy thừa của cùng một cơ số.

• Ý tưởng của phương pháp: Chúng ta sẽ nhân biểu thức ban đầu với cơ số của các lũy thừa ở mẫu (trong bài này là số 3), sau đó lấy kết quả mới trừ đi biểu thức ban đầu. Việc này sẽ giúp triệt tiêu hầu hết các số hạng ở giữa, chỉ còn lại số hạng đầu và số hạng cuối, giúp ta tính được giá trị của biểu thức một cách gọn gàng.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng bắt tay vào giải bài toán nhé!

BÀI GIẢI CHI TIẾT

Bước 1: Viết lại biểu thức B và nhân với 3

Ta có biểu thức:
\[B = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + … + \frac{1}{3^{2020}} + \frac{1}{3^{2021}}\]
Bây giờ, cô sẽ nhân cả hai vế của biểu thức này với 3. Các em hãy chú ý xem điều gì sẽ xảy ra nhé:
\[3B = 3 \times \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + … + \frac{1}{3^{2021}} \right)\]
Nhân 3 vào từng số hạng bên trong dấu ngoặc, ta được:
\[3B = 3 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{3^2} + 3 \times \frac{1}{3^3} + … + 3 \times \frac{1}{3^{2021}}\]
Rút gọn từng số hạng:
\[3B = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + … + \frac{1}{3^{2020}}\]

Bước 2: Lấy 3B trừ đi B

Đây là bước quan trọng nhất của phương pháp. Chúng ta sẽ lấy biểu thức \(3B\) vừa tìm được ở Bước 1 trừ đi biểu thức \(B\) ban đầu. Để dễ hình dung, cô sẽ viết chúng thẳng hàng với nhau:

    \(3B = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + … + \frac{1}{3^{2020}}\)
– (trừ)
     \(B = \quad \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + … + \frac{1}{3^{2020}} + \frac{1}{3^{2021}}\)
————————————————————————–
\(3B – B = 1 – \frac{1}{3^{2021}}\)

Như các em thấy, tất cả các số hạng ở giữa (từ \(\frac{1}{3}\) đến \(\frac{1}{3^{2020}}\)) đã bị triệt tiêu hết!

Ta có kết quả gọn gàng là:
\[2B = 1 – \frac{1}{3^{2021}}\]

Bước 3: Tìm B và so sánh với 1/2

Từ kết quả ở Bước 2, ta dễ dàng tìm được B bằng cách chia cả hai vế cho 2:
\[B = \frac{1 – \frac{1}{3^{2021}}}{2}\]
Để dễ so sánh với \(\frac{1}{2}\), ta có thể viết lại B như sau:
\[B = \frac{1}{2} – \frac{\frac{1}{3^{2021}}}{2} = \frac{1}{2} – \frac{1}{2 \times 3^{2021}}\]
Bây giờ, chúng ta hãy cùng phân tích nhé:

• Ta biết rằng \(3^{2021}\) là một số tự nhiên rất lớn, nên \(3^{2021} > 0\).
• Do đó, \(2 \times 3^{2021} > 0\).
• Suy ra, phân số \(\frac{1}{2 \times 3^{2021}}\) là một số dương (lớn hơn 0).

Biểu thức của chúng ta là \(B = \frac{1}{2} – (\text{một số dương})\).

Khi lấy \(\frac{1}{2}\) trừ đi một số dương, kết quả nhận được chắc chắn phải nhỏ hơn \(\frac{1}{2}\).

Tức là:
\[\frac{1}{2} – \frac{1}{2 \times 3^{2021}} < \frac{1}{2}\] Vậy, ta có: \[B < \frac{1}{2}\] Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh thành công rằng \(B = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + … + \frac{1}{3^{2020}} + \frac{1}{3^{2021}} < \frac{1}{2}\). Cô hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững được phương pháp “Nhân và trừ” để xử lý các dạng toán tương tự. Đây là một công cụ rất mạnh và hữu ích. Các em hãy ghi nhớ và luyện tập thêm nhé! Chúc các em học tốt!