Chào các em học sinh lớp 6 yêu quý!
Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chứng minh bất đẳng thức rất thú vị nhé.
Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh rằng: B = 1/3 + 1/3² + 1/3³ + … + 1/3²⁰²⁰ + 1/3²⁰²¹ < 1/2.
Đây là một bài toán thuộc dạng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, nhưng vì ở đây là cấp số nhân hữu hạn và số hạng cuối cùng của chúng ta cũng khá lớn, nên chúng ta sẽ có một cách tiếp cận khác, đơn giản và phù hợp với kiến thức lớp 6.
Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân và trừ để làm gọn tổng B.

Bước 1: Nhân B với 3
Chúng ta sẽ nhân cả hai vế của biểu thức B với 3. Mục đích của việc này là để các số hạng trong tổng B có thể “khớp” với nhau khi chúng ta thực hiện phép trừ.
Ta có:
3B = 3 * (1/3 + 1/3² + 1/3³ + … + 1/3²⁰²⁰ + 1/3²⁰²¹)
Khi nhân 3 vào từng số hạng, ta được:
3B = 3 (1/3) + 3 (1/3²) + 3 (1/3³) + … + 3 (1/3²⁰²⁰) + 3 * (1/3²⁰²¹)
Thực hiện phép nhân, ta thu được:
3B = 1 + 1/3 + 1/3² + … + 1/3²⁰¹⁹ + 1/3²⁰²⁰

Bước 2: Trừ B khỏi 3B
Bây giờ, chúng ta sẽ lấy biểu thức 3B trừ đi biểu thức B ban đầu.
3B – B = (1 + 1/3 + 1/3² + … + 1/3²⁰¹⁹ + 1/3²⁰²⁰) – (1/3 + 1/3² + 1/3³ + … + 1/3²⁰²⁰ + 1/3²⁰²¹)

Để dễ hình dung, cô sẽ viết các số hạng thẳng hàng với nhau:
3B = 1 + 1/3 + 1/3² + 1/3³ + … + 1/3²⁰¹⁹ + 1/3²⁰²⁰
B = 1/3 + 1/3² + 1/3³ + … + 1/3²⁰²⁰ + 1/3²⁰²¹

Khi thực hiện phép trừ, các số hạng từ 1/3 đến 1/3²⁰²⁰ ở cả hai biểu thức sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
Ta có:
3B – B = 1 – 1/3²⁰²¹
2B = 1 – 1/3²⁰²¹

Bước 3: Tìm biểu thức của B
Từ kết quả của Bước 2, ta chia cả hai vế cho 2 để tìm ra giá trị của B:
B = (1 – 1/3²⁰²¹) / 2
B = 1/2 – (1/3²⁰²¹) / 2
B = 1/2 – 1/(2 * 3²⁰²¹)

Bước 4: Chứng minh B < 1/2
Bây giờ, chúng ta hãy nhìn vào biểu thức của B mà chúng ta vừa tìm được:
B = 1/2 – 1/(2 * 3²⁰²¹)
Ta thấy rằng, số hạng 1/(2 * 3²⁰²¹) là một số dương (vì 2 và 3²⁰²¹ đều dương).
Khi ta trừ đi một số dương khỏi 1/2, kết quả chắc chắn sẽ nhỏ hơn 1/2.
Do đó, ta có:
1/2 – 1/(2 * 3²⁰²¹) < 1/2
Vậy, B < 1/2. Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh thành công rằng B = 1/3 + 1/3² + 1/3³ + … + 1/3²⁰²⁰ + 1/3²⁰²¹ < 1/2.
Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán này! Các em thấy phương pháp nhân và trừ có hiệu quả không nào?