Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác khá thú vị, nằm trong chương trình Toán lớp 10 của chúng ta. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh một đẳng thức lượng giác:

cos\(\frac{π}{7}\) -cos\(\frac{2π}{7}\) +cos \(\frac{3π}{7}\) =\(\frac{1}{2}\)

Các em đừng lo lắng nếu ban đầu nhìn vào thấy hơi lạ nhé. Thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một, đảm bảo các em hiểu rõ bản chất của bài toán.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân lượng giác liên hợp. Đây là một kỹ thuật khá phổ biến khi gặp các bài toán có dạng tổng hoặc hiệu các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ với nhau.

Bước 1: Đặt biểu thức cần chứng minh là A

Đặt \( A = \cos\frac{π}{7} – \cos\frac{2π}{7} + \cos\frac{3π}{7} \).

Bước 2: Nhân cả hai vế của biểu thức A với \( 2\sin\frac{π}{7} \)

Tại sao lại là \( 2\sin\frac{π}{7} \)? Mục đích của việc này là để sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng của lượng giác. Cụ thể, chúng ta sẽ sử dụng công thức:
\[ 2\sin x \cos y = \sin(x+y) – \sin(y-x) \]

Và công thức:
\[ 2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y) \]

hoặc nhìn từ góc độ \( 2\cos y \sin x \), ta có:
\[ 2\cos y \sin x = \sin(x+y) – \sin(y-x) \]

Trong trường hợp này, ta sẽ ưu tiên sử dụng công thức \( 2\sin A \cos B = \sin(A+B) – \sin(B-A) \).

Nhân \( A \) với \( 2\sin\frac{π}{7} \):

\( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = 2\sin\frac{π}{7} \left( \cos\frac{π}{7} – \cos\frac{2π}{7} + \cos\frac{3π}{7} \right) \)

\( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{π}{7} – 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{2π}{7} + 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{3π}{7} \)

Bước 3: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Chúng ta sẽ áp dụng công thức \( 2\sin x \cos y = \sin(x+y) – \sin(y-x) \) cho từng thành phần:

* Thành phần thứ nhất: \( 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{π}{7} \)

Ở đây, \( x = \frac{π}{7} \) và \( y = \frac{π}{7} \).

\( 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{π}{7} = \sin(\frac{π}{7} + \frac{π}{7}) – \sin(\frac{π}{7} – \frac{π}{7}) = \sin\frac{2π}{7} – \sin 0 = \sin\frac{2π}{7} \)

(Hoặc có thể dùng công thức \( \sin(2x) = 2\sin x \cos x \) trực tiếp: \( \sin(2 \cdot \frac{π}{7}) = \sin\frac{2π}{7} \))

* Thành phần thứ hai: \( – 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{2π}{7} \)

Ở đây, \( x = \frac{π}{7} \) và \( y = \frac{2π}{7} \). Áp dụng công thức \( 2\sin x \cos y = \sin(x+y) – \sin(y-x) \):

\( – 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{2π}{7} = – \left( \sin(\frac{π}{7} + \frac{2π}{7}) – \sin(\frac{2π}{7} – \frac{π}{7}) \right) \)

\( = – \left( \sin\frac{3π}{7} – \sin\frac{π}{7} \right) \)

\( = – \sin\frac{3π}{7} + \sin\frac{π}{7} \)

* Thành phần thứ ba: \( + 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{3π}{7} \)

Ở đây, \( x = \frac{π}{7} \) và \( y = \frac{3π}{7} \). Áp dụng công thức \( 2\sin x \cos y = \sin(x+y) – \sin(y-x) \):

\( 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{3π}{7} = \sin(\frac{π}{7} + \frac{3π}{7}) – \sin(\frac{3π}{7} – \frac{π}{7}) \)

\( = \sin\frac{4π}{7} – \sin\frac{2π}{7} \)

Bây giờ, chúng ta thay thế các kết quả này vào biểu thức \( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A \):

\( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = \sin\frac{2π}{7} + (- \sin\frac{3π}{7} + \sin\frac{π}{7}) + (\sin\frac{4π}{7} – \sin\frac{2π}{7}) \)

\( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = \sin\frac{2π}{7} – \sin\frac{3π}{7} + \sin\frac{π}{7} + \sin\frac{4π}{7} – \sin\frac{2π}{7} \)

Bước 4: Rút gọn biểu thức

Chúng ta thấy các số hạng \( \sin\frac{2π}{7} \) và \( -\sin\frac{2π}{7} \) sẽ triệt tiêu nhau.

\( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = -\sin\frac{3π}{7} + \sin\frac{π}{7} + \sin\frac{4π}{7} \)

Hmm, kết quả này vẫn chưa có vẻ đơn giản lắm. Chúng ta hãy thử xem liệu có cách nào khác để sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng một cách hiệu quả hơn không.

Chúng ta quay lại Bước 2. Thay vì nhân với \( 2\sin\frac{π}{7} \), hãy thử nhân với \( 2\sin\frac{π}{7} \) và áp dụng công thức \( 2 \cos A \sin B = \sin(A+B) – \sin(A-B) \). Hoặc chúng ta có thể sử dụng công thức \( 2\sin A \cos B = \sin(A+B) – \sin(B-A) \) nhưng cẩn thận với dấu trừ.

Hãy thử lại bước 3 một cách cẩn thận hơn.

\( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{π}{7} – 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{2π}{7} + 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{3π}{7} \)

* \( 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{π}{7} = \sin(\frac{π}{7} + \frac{π}{7}) – \sin(\frac{π}{7} – \frac{π}{7}) = \sin\frac{2π}{7} – \sin 0 = \sin\frac{2π}{7} \)

* \( – 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{2π}{7} \). Sử dụng công thức \( \sin(a-b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b \) và \( \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \).
Hoặc ta có thể viết \( 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{2π}{7} = \sin(\frac{π}{7} + \frac{2π}{7}) + \sin(\frac{π}{7} – \frac{2π}{7}) = \sin\frac{3π}{7} + \sin(-\frac{π}{7}) = \sin\frac{3π}{7} – \sin\frac{π}{7} \).
Vậy, \( – 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{2π}{7} = – (\sin\frac{3π}{7} – \sin\frac{π}{7}) = – \sin\frac{3π}{7} + \sin\frac{π}{7} \).

* \( + 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{3π}{7} \). Sử dụng công thức \( 2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) \).
\( 2\sin\frac{π}{7}\cos\frac{3π}{7} = \sin(\frac{π}{7} + \frac{3π}{7}) + \sin(\frac{π}{7} – \frac{3π}{7}) = \sin\frac{4π}{7} + \sin(-\frac{2π}{7}) = \sin\frac{4π}{7} – \sin\frac{2π}{7} \).

Ghép lại:

\( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = \sin\frac{2π}{7} + (- \sin\frac{3π}{7} + \sin\frac{π}{7}) + (\sin\frac{4π}{7} – \sin\frac{2π}{7}) \)

\( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = \sin\frac{2π}{7} – \sin\frac{3π}{7} + \sin\frac{π}{7} + \sin\frac{4π}{7} – \sin\frac{2π}{7} \)

\( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = \sin\frac{π}{7} – \sin\frac{3π}{7} + \sin\frac{4π}{7} \)

Vẫn chưa thấy sự đơn giản. Ta hãy sử dụng mối quan hệ giữa các góc.
Lưu ý rằng \( \sin(\pi – x) = \sin x \).
Ta có:

\( \sin\frac{4π}{7} = \sin(\pi – \frac{3π}{7}) = \sin\frac{3π}{7} \)

Thay vào biểu thức trên:

\( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = \sin\frac{π}{7} – \sin\frac{3π}{7} + \sin\frac{3π}{7} \)

\( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = \sin\frac{π}{7} \)

Bước 5: Tìm giá trị của A

Từ \( 2\sin\frac{π}{7} \cdot A = \sin\frac{π}{7} \), ta chia cả hai vế cho \( 2\sin\frac{π}{7} \) (lưu ý \( \sin\frac{π}{7} \neq 0 \)):

\( A = \frac{\sin\frac{π}{7}}{2\sin\frac{π}{7}} \)

\( A = \frac{1}{2} \)

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[ \cos\frac{π}{7} – \cos\frac{2π}{7} + \cos\frac{3π}{7} = \frac{1}{2} \]

Các em thấy không, với phương pháp nhân lượng giác liên hợp và một chút khéo léo trong việc sử dụng các công thức biến đổi, chúng ta đã giải quyết bài toán một cách gọn gàng. Điều quan trọng là phải nhớ và áp dụng đúng các công thức, cũng như kiên nhẫn trong quá trình biến đổi.

Các em hãy thử làm lại bài tập này một lần nữa để khắc sâu kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!