Xin chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, cô sẽ cùng các em đi chứng minh một bài toán quen thuộc. Chúng ta sẽ chứng minh rằng biểu thức \(x^2 + 2x + 2\) luôn luôn lớn hơn 0 với mọi số nguyên \(x\).

Để làm được bài này, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp rất hữu ích đó là biến đổi biểu thức về dạng tổng của các bình phương.

Bước 1: Quan sát và phân tích biểu thức.
Chúng ta có biểu thức là \(x^2 + 2x + 2\). Chúng ta thấy rằng \(x^2\) và \(2x\) gợi cho chúng ta nhớ đến hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Bước 2: Biến đổi biểu thức về dạng bình phương.
Cô sẽ tách \(2\) trong biểu thức \(x^2 + 2x + 2\) thành \(1 + 1\).
Ta có:
\(x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 + 1\)

Bây giờ, chúng ta hãy nhóm ba hạng tử đầu tiên lại:
\((x^2 + 2x + 1) + 1\)

Chúng ta nhận ra rằng biểu thức trong ngoặc chính là hằng đẳng thức \((x+1)^2\).
Vậy, \(x^2 + 2x + 1 + 1 = (x+1)^2 + 1\).

Bước 3: Xét giá trị của biểu thức sau khi biến đổi.
Chúng ta đã biến đổi biểu thức \(x^2 + 2x + 2\) thành \((x+1)^2 + 1\).

Bây giờ, chúng ta xét xem \((x+1)^2 + 1\) có luôn lớn hơn 0 hay không.
Vì \(x\) là một số nguyên (\(x \in \mathbb{Z}\)), nên \(x+1\) cũng là một số nguyên.

Bình phương của một số thực bất kỳ luôn không âm. Điều này có nghĩa là \((x+1)^2 \ge 0\) với mọi số nguyên \(x\).

Khi chúng ta cộng thêm \(1\) vào một số không âm, kết quả sẽ luôn dương.
Cụ thể: \((x+1)^2 \ge 0\)
Cộng \(1\) vào cả hai vế của bất đẳng thức, ta được:
\((x+1)^2 + 1 \ge 0 + 1\)
\((x+1)^2 + 1 \ge 1\)

Vì \(1 > 0\), nên \((x+1)^2 + 1\) luôn luôn lớn hơn 0.

Bước 4: Kết luận.
Từ các bước trên, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\(x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1\)
Và \((x+1)^2 + 1 \ge 1\) với mọi số nguyên \(x\).
Do đó, \(x^2 + 2x + 2 > 0\) với mọi \(x\) thuộc tập số nguyên \(\mathbb{Z}\).

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài chứng minh. Các em hãy ghi nhớ phương pháp biến đổi về dạng tổng các bình phương này, nó sẽ rất hữu ích cho nhiều bài toán khác.

Chúc các em học tốt!