Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về khai triển biểu thức, một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 8 theo cả ba bộ sách.
Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức sau: (x+2y)^3 -(x-2y)^3=4y(3x^2+4y^2)

Để giải quyết bài toán này, thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một.

Bước 1: Xác định các hằng đẳng thức cần sử dụng.
Quan sát vế trái của đẳng thức, chúng ta thấy có dạng hiệu của hai lập phương: A^3 – B^3, với A = (x+2y) và B = (x-2y).
Tuy nhiên, cách tiếp cận trực tiếp bằng công thức hiệu hai lập phương A^3 – B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) có thể sẽ hơi dài dòng.
Thay vào đó, chúng ta sẽ sử dụng hai hằng đẳng thức quen thuộc sau đây:

• Hằng đẳng thức lập phương của một tổng: (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
• Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3

Chúng ta sẽ áp dụng các công thức này để khai triển từng số hạng trong biểu thức vế trái.

Bước 2: Khai triển (x+2y)^3.
Áp dụng công thức (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 với a = x và b = 2y, ta có:
(x+2y)^3 = x^3 + 3(x^2)(2y) + 3(x)(2y)^2 + (2y)^3
= x^3 + 6x^2y + 3x(4y^2) + 8y^3
= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3

Bước 3: Khai triển (x-2y)^3.
Áp dụng công thức (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 với a = x và b = 2y, ta có:
(x-2y)^3 = x^3 – 3(x^2)(2y) + 3(x)(2y)^2 – (2y)^3
= x^3 – 6x^2y + 3x(4y^2) – 8y^3
= x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3

Bước 4: Tính hiệu của hai biểu thức đã khai triển.
Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép trừ vế trái: (x+2y)^3 -(x-2y)^3
= (x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3) – (x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3)
Khi thực hiện phép trừ, chúng ta cần đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc thứ hai:
= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 – x^3 + 6x^2y – 12xy^2 + 8y^3
Bây giờ, chúng ta nhóm các số hạng đồng dạng lại với nhau:
= (x^3 – x^3) + (6x^2y + 6x^2y) + (12xy^2 – 12xy^2) + (8y^3 + 8y^3)
= 0 + 12x^2y + 0 + 16y^3
= 12x^2y + 16y^3

Bước 5: Biến đổi kết quả để có được vế phải của đẳng thức.
Chúng ta có kết quả là 12x^2y + 16y^3. Mục tiêu của chúng ta là biến đổi biểu thức này thành 4y(3x^2+4y^2).
Quan sát 12x^2y + 16y^3, chúng ta thấy cả hai số hạng đều có thừa số chung là 4y.
Đặt 4y làm thừa số chung:
= 4y(3x^2) + 4y(4y^2)
= 4y(3x^2 + 4y^2)

Bước 6: Kết luận.
Sau khi thực hiện các phép biến đổi, chúng ta đã chứng minh được rằng:
(x+2y)^3 -(x-2y)^3 = 4y(3x^2+4y^2)
Đẳng thức đã được chứng minh.

Đây là một bài tập vận dụng tốt các hằng đẳng thức đã học, giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số. Chúc các em học tốt!