Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau đi chứng minh một bài tập rất thú vị liên quan đến tính chia hết, nằm trong chương trình Toán lớp 6 của chúng ta. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép bài thật cẩn thận nhé!

Chúng ta cần chứng minh rằng tích của hai số (n + 10) và (n + 15) luôn chia hết cho 2, với mọi số tự nhiên n.

Để làm được bài này, cô sẽ hướng dẫn các em từng bước, dựa trên kiến thức về số chẵn, số lẻ mà chúng ta đã học.

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định kiến thức cần sử dụng.
Đề bài yêu cầu “chia hết cho 2”. Chúng ta biết rằng một số chia hết cho 2 thì đó là số chẵn. Một số không chia hết cho 2 thì đó là số lẻ.
Số tự nhiên n có hai khả năng xảy ra:
Khả năng 1: n là số chẵn.
Khả năng 2: n là số lẻ.
Chúng ta sẽ xét lần lượt hai trường hợp này.

Bước 2: Xét trường hợp 1: n là số chẵn.
Nếu n là số chẵn, theo định nghĩa, ta có thể viết n dưới dạng \( n = 2k \), trong đó k là một số tự nhiên nào đó.
Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( n = 2k \) vào biểu thức \( (n + 10) \cdot (n + 15) \).

Xét thừa số thứ nhất: \( n + 10 \).
Thay \( n = 2k \) vào, ta được: \( 2k + 10 \).
Ta có thể đặt 2 làm nhân tử chung: \( 2k + 10 = 2(k + 5) \).
Vì \( k \) là số tự nhiên, \( k + 5 \) cũng là một số tự nhiên. Do đó, \( 2(k + 5) \) là một số chia hết cho 2.
Vậy, khi n là số chẵn, \( n + 10 \) chia hết cho 2.

Bây giờ, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng cả tích \( (n + 10) \cdot (n + 15) \) chia hết cho 2. Vì \( n + 10 \) đã chia hết cho 2, nên tích của nó với bất kỳ số nào cũng sẽ chia hết cho 2.
Do đó, trong trường hợp này, \( (n + 10) \cdot (n + 15) \) chia hết cho 2.

Bước 3: Xét trường hợp 2: n là số lẻ.
Nếu n là số lẻ, theo định nghĩa, ta có thể viết n dưới dạng \( n = 2k + 1 \), trong đó k là một số tự nhiên nào đó.
Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( n = 2k + 1 \) vào biểu thức \( (n + 10) \cdot (n + 15) \).

Xét thừa số thứ nhất: \( n + 10 \).
Thay \( n = 2k + 1 \) vào, ta được: \( (2k + 1) + 10 = 2k + 11 \).
Ta có thể viết lại \( 2k + 11 \) thành \( 2k + 10 + 1 = 2(k + 5) + 1 \).
Đây là dạng \( 2 \times (\text{một số}) + 1 \), nên \( n + 10 \) là số lẻ.

Bây giờ, chúng ta xét thừa số thứ hai: \( n + 15 \).
Thay \( n = 2k + 1 \) vào, ta được: \( (2k + 1) + 15 = 2k + 16 \).
Ta có thể đặt 2 làm nhân tử chung: \( 2k + 16 = 2(k + 8) \).
Vì \( k \) là số tự nhiên, \( k + 8 \) cũng là một số tự nhiên. Do đó, \( 2(k + 8) \) là một số chia hết cho 2.
Vậy, khi n là số lẻ, \( n + 15 \) chia hết cho 2.

Bây giờ, chúng ta xem xét tích \( (n + 10) \cdot (n + 15) \).
Trong trường hợp này, \( n + 10 \) là số lẻ và \( n + 15 \) là số chẵn.
Tích của một số lẻ với một số chẵn luôn là một số chẵn.
Do đó, \( (n + 10) \cdot (n + 15) \) chia hết cho 2.

Bước 4: Kết luận.
Chúng ta đã xét cả hai trường hợp có thể xảy ra của số tự nhiên n:
Trường hợp 1: n là số chẵn, ta đã chứng minh được \( (n + 10) \cdot (n + 15) \) chia hết cho 2.
Trường hợp 2: n là số lẻ, ta cũng đã chứng minh được \( (n + 10) \cdot (n + 15) \) chia hết cho 2.

Vì cả hai trường hợp đều cho kết quả giống nhau, nên ta có thể kết luận rằng với mọi số tự nhiên n, tích \( (n + 10) \cdot (n + 15) \) luôn chia hết cho 2.

Đây là một cách chứng minh sử dụng phương pháp xét các trường hợp dựa trên tính chẵn lẻ của số tự nhiên. Các em thấy đó, Toán lớp 6 rất thú vị phải không nào!

Các em về nhà ôn tập kỹ bài này và thử áp dụng cách lập luận tương tự để giải các bài tập khác nhé. Cô chúc các em học tốt!