Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về cường độ điện trường tổng hợp, một kiến thức rất quan trọng trong chương trình Vật lý lớp 11. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải nắm vững nguyên lý chồng chất điện trường và kỹ năng tổng hợp vectơ.

Trước khi đi vào giải chi tiết, thầy muốn nhấn mạnh rằng điện trường là một đại lượng vectơ, vì vậy việc xác định đúng hướng của các vectơ thành phần là CỰC KỲ QUAN TRỌNG. Chúng ta sẽ áp dụng công thức cường độ điện trường do điện tích điểm gây ra và quy tắc tổng hợp vectơ (quy tắc hình bình hành hoặc công thức định lý cosin).

I. Các kiến thức cần nhớ:

1. Cường độ điện trường E do một điện tích điểm q gây ra tại một điểm cách nó một khoảng r có độ lớn là:

\[ E = k \frac{|q|}{r^2} \]

Trong đó:

• \(k = 9 \times 10^9 \text{ N.m}^2/\text{C}^2\) là hằng số Coulomb.
• \(|q|\) là độ lớn của điện tích (Coulomb).
• \(r\) là khoảng cách từ điện tích đến điểm xét (mét).

2. Về hướng của vectơ E:

• Nếu điện tích q là điện tích dương (q > 0), vectơ E hướng RA XA điện tích đó.
• Nếu điện tích q là điện tích âm (q < 0), vectơ E hướng VỀ PHÍA điện tích đó.

3. Nguyên lý chồng chất điện trường: Cường độ điện trường tổng hợp tại một điểm do nhiều điện tích điểm gây ra bằng tổng các vectơ cường độ điện trường thành phần do từng điện tích gây ra tại điểm đó.

\[ \vec{E}_{tong} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \dots + \vec{E}_n \]

4. Công thức tổng hợp hai vectơ: Nếu có hai vectơ \(\vec{E}_1\) và \(\vec{E}_2\) có độ lớn lần lượt là \(E_1, E_2\) và góc giữa chúng là \(\alpha\), thì độ lớn của vectơ tổng \(\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2\) được tính bằng công thức:

\[ E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2 \cos \alpha} \]

II. Phân tích bài toán chung:

Trong bài toán này, chúng ta có 3 điện tích cùng độ lớn q đặt tại 3 đỉnh của một tam giác đều cạnh a. Yêu cầu là xác định cường độ điện trường tại vị trí của MỘT ĐIỆN TÍCH do HAI ĐIỆN TÍCH CÒN LẠI gây ra. Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ bỏ qua điện trường do chính điện tích tại đó gây ra (vì một điện tích không thể tự gây điện trường lên chính nó).

Gọi 3 đỉnh của tam giác là A, B, C. Các điện tích đặt tại các đỉnh lần lượt là \(q_A, q_B, q_C\). Chúng ta sẽ tính điện trường tại đỉnh A do \(q_B\) và \(q_C\) gây ra.

Vì các điện tích có cùng độ lớn q và khoảng cách từ mỗi điện tích đến đỉnh đang xét là như nhau (đều bằng cạnh a của tam giác), nên độ lớn của các vectơ điện trường thành phần sẽ bằng nhau. Chúng ta đặt:

\[ E_0 = k \frac{q}{a^2} \]

Đây sẽ là độ lớn chung của các vectơ điện trường thành phần. (Lưu ý: trong công thức \(E_0\), \(q\) đã là độ lớn, tức là \(|q|\) trong công thức tổng quát).

—

a) Ba điện tích cùng dấu.

Chúng ta xét hai trường hợp nhỏ trong trường hợp này:

Trường hợp a.1: Cả ba điện tích đều là điện tích dương (+q).

Giả sử \(q_A = +q, q_B = +q, q_C = +q\). Chúng ta cần xác định cường độ điện trường tại đỉnh A do \(q_B\) và \(q_C\) gây ra.

Bước 1: Xác định độ lớn các vectơ điện trường thành phần.

• Cường độ điện trường do \(q_B\) gây ra tại A là \(\vec{E}_{BA}\) có độ lớn: \(E_{BA} = k \frac{|q|}{a^2} = E_0\).
• Cường độ điện trường do \(q_C\) gây ra tại A là \(\vec{E}_{CA}\) có độ lớn: \(E_{CA} = k \frac{|q|}{a^2} = E_0\).

Bước 2: Xác định hướng của các vectơ điện trường thành phần.

• Vì \(q_B\) là điện tích dương, \(\vec{E}_{BA}\) sẽ hướng RA XA điện tích \(q_B\). Tức là, \(\vec{E}_{BA}\) có điểm đặt tại A, hướng dọc theo đường thẳng AB, kéo dài ra phía ngoài đỉnh A (hướng từ A về phía B, nhưng xa B).
• Vì \(q_C\) là điện tích dương, \(\vec{E}_{CA}\) sẽ hướng RA XA điện tích \(q_C\). Tức là, \(\vec{E}_{CA}\) có điểm đặt tại A, hướng dọc theo đường thẳng AC, kéo dài ra phía ngoài đỉnh A (hướng từ A về phía C, nhưng xa C).

Các em hình dung tam giác ABC với A ở trên, B bên trái và C bên phải. Khi đó, \(\vec{E}_{BA}\) sẽ hướng lên phía trên bên phải, và \(\vec{E}_{CA}\) sẽ hướng lên phía trên bên trái. Góc giữa hai cạnh AB và AC của tam giác đều là \(60^\circ\). Vậy, góc giữa hai vectơ \(\vec{E}_{BA}\) và \(\vec{E}_{CA}\) (được vẽ xuất phát từ A) là \(\alpha = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\).

Bước 3: Tổng hợp các vectơ điện trường.

Cường độ điện trường tổng hợp tại A là \(\vec{E}_A = \vec{E}_{BA} + \vec{E}_{CA}\). Độ lớn của \(\vec{E}_A\) được tính bằng công thức tổng hợp vectơ:

\[ E_A = \sqrt{E_{BA}^2 + E_{CA}^2 + 2E_{BA}E_{CA} \cos \alpha} \]

Thay \(E_{BA} = E_{CA} = E_0\) và \(\alpha = 120^\circ\) vào:

\[ E_A = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0E_0 \cos 120^\circ} \]

Vì \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), ta có:

\[ E_A = \sqrt{2E_0^2 + 2E_0^2 \left(-\frac{1}{2}\right)} \]
\[ E_A = \sqrt{2E_0^2 – E_0^2} \]
\[ E_A = \sqrt{E_0^2} = E_0 \]

Vậy, độ lớn cường độ điện trường tại đỉnh A là \(E_A = k \frac{q}{a^2}\).

Về hướng của \(\vec{E}_A\): Vì \(E_{BA} = E_{CA}\), vectơ tổng \(\vec{E}_A\) sẽ nằm trên đường phân giác của góc giữa \(\vec{E}_{BA}\) và \(\vec{E}_{CA}\). Nếu A là đỉnh trên, nó sẽ hướng thẳng xuống dưới, vuông góc với cạnh đối diện BC, hướng vào trong tam giác.

Do tính đối xứng của tam giác đều, cường độ điện trường tại các đỉnh B và C cũng sẽ có độ lớn tương tự và hướng đối xứng.

Trường hợp a.2: Cả ba điện tích đều là điện tích âm (-q).

Giả sử \(q_A = -q, q_B = -q, q_C = -q\). Chúng ta cần xác định cường độ điện trường tại đỉnh A do \(q_B\) và \(q_C\) gây ra.

Bước 1: Xác định độ lớn các vectơ điện trường thành phần.

Tương tự như trên, độ lớn vẫn là \(E_0 = k \frac{|-q|}{a^2} = k \frac{q}{a^2}\).

Bước 2: Xác định hướng của các vectơ điện trường thành phần.

• Vì \(q_B\) là điện tích âm, \(\vec{E}_{BA}\) sẽ hướng VỀ PHÍA điện tích \(q_B\). Tức là, \(\vec{E}_{BA}\) có điểm đặt tại A, hướng dọc theo đường thẳng AB, đi VỀ PHÍA B.
• Vì \(q_C\) là điện tích âm, \(\vec{E}_{CA}\) sẽ hướng VỀ PHÍA điện tích \(q_C\). Tức là, \(\vec{E}_{CA}\) có điểm đặt tại A, hướng dọc theo đường thẳng AC, đi VỀ PHÍA C.

Khi đó, góc giữa hai vectơ \(\vec{E}_{BA}\) và \(\vec{E}_{CA}\) (được vẽ xuất phát từ A) chính là góc trong của tam giác đều tại đỉnh A, tức là \(\alpha = 60^\circ\).

Bước 3: Tổng hợp các vectơ điện trường.

Cường độ điện trường tổng hợp tại A là \(\vec{E}_A = \vec{E}_{BA} + \vec{E}_{CA}\). Độ lớn của \(\vec{E}_A\) được tính bằng công thức tổng hợp vectơ:

\[ E_A = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0E_0 \cos 60^\circ} \]

Vì \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), ta có:

\[ E_A = \sqrt{2E_0^2 + 2E_0^2 \left(\frac{1}{2}\right)} \]
\[ E_A = \sqrt{2E_0^2 + E_0^2} \]
\[ E_A = \sqrt{3E_0^2} = E_0 \sqrt{3} \]

Vậy, độ lớn cường độ điện trường tại đỉnh A là \(E_A = k \frac{q}{a^2} \sqrt{3}\).

Về hướng của \(\vec{E}_A\): Vectơ tổng \(\vec{E}_A\) sẽ nằm trên đường phân giác của góc giữa \(\vec{E}_{BA}\) và \(\vec{E}_{CA}\). Nếu A là đỉnh trên, nó sẽ hướng thẳng xuống dưới, vuông góc với cạnh đối diện BC, hướng vào trong tam giác.

Do tính đối xứng, cường độ điện trường tại các đỉnh B và C cũng sẽ có độ lớn tương tự và hướng đối xứng.

—

b) Một điện tích trái dấu với 2 điện tích kia.

Giả sử có hai điện tích là \(+q\) và một điện tích là \(-q\). Chúng ta xét hai loại vị trí:

Trường hợp b.1: Cường độ điện trường tại đỉnh có điện tích trái dấu (ví dụ, tại đỉnh A có điện tích \(-q\), còn B và C có điện tích \(+q\)).

Giả sử \(q_A = -q, q_B = +q, q_C = +q\). Chúng ta tính điện trường tại A.

Bước 1: Xác định độ lớn các vectơ điện trường thành phần.

• Cường độ điện trường do \(q_B\) gây ra tại A là \(\vec{E}_{BA}\) có độ lớn: \(E_{BA} = k \frac{|q|}{a^2} = E_0\).
• Cường độ điện trường do \(q_C\) gây ra tại A là \(\vec{E}_{CA}\) có độ lớn: \(E_{CA} = k \frac{|q|}{a^2} = E_0\).

Bước 2: Xác định hướng của các vectơ điện trường thành phần.

• Vì \(q_B\) là điện tích dương, \(\vec{E}_{BA}\) sẽ hướng RA XA điện tích \(q_B\). Tức là, từ A, \(\vec{E}_{BA}\) hướng lên phía trên bên phải (tương tự như trường hợp a.1).
• Vì \(q_C\) là điện tích dương, \(\vec{E}_{CA}\) sẽ hướng RA XA điện tích \(q_C\). Tức là, từ A, \(\vec{E}_{CA}\) hướng lên phía trên bên trái (tương tự như trường hợp a.1).

Khi đó, góc giữa hai vectơ \(\vec{E}_{BA}\) và \(\vec{E}_{CA}\) (được vẽ xuất phát từ A) là \(\alpha = 120^\circ\).

Bước 3: Tổng hợp các vectơ điện trường.

Cường độ điện trường tổng hợp tại A là \(\vec{E}_A = \vec{E}_{BA} + \vec{E}_{CA}\). Độ lớn của \(\vec{E}_A\) được tính bằng công thức tổng hợp vectơ:

\[ E_A = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0E_0 \cos 120^\circ} \]
\[ E_A = \sqrt{2E_0^2 + 2E_0^2 \left(-\frac{1}{2}\right)} \]
\[ E_A = \sqrt{E_0^2} = E_0 \]

Vậy, độ lớn cường độ điện trường tại đỉnh A (đỉnh có điện tích trái dấu) là \(E_A = k \frac{q}{a^2}\).

Về hướng của \(\vec{E}_A\): Tương tự trường hợp a.1, nó sẽ hướng thẳng xuống dưới, vuông góc với cạnh đối diện BC, hướng vào trong tam giác.

Trường hợp b.2: Cường độ điện trường tại đỉnh có điện tích cùng dấu với đa số (ví dụ, tại đỉnh B có điện tích \(+q\), còn A có \(-q\) và C có \(+q\)).

Giả sử \(q_A = -q, q_B = +q, q_C = +q\). Chúng ta tính điện trường tại B.

Bước 1: Xác định độ lớn các vectơ điện trường thành phần.

• Cường độ điện trường do \(q_A\) gây ra tại B là \(\vec{E}_{AB}\) có độ lớn: \(E_{AB} = k \frac{|-q|}{a^2} = E_0\).
• Cường độ điện trường do \(q_C\) gây ra tại B là \(\vec{E}_{CB}\) có độ lớn: \(E_{CB} = k \frac{|q|}{a^2} = E_0\).

Bước 2: Xác định hướng của các vectơ điện trường thành phần.

• Vì \(q_A\) là điện tích âm, \(\vec{E}_{AB}\) sẽ hướng VỀ PHÍA điện tích \(q_A\). Tức là, từ B, \(\vec{E}_{AB}\) hướng dọc theo đường thẳng BA, đi VỀ PHÍA A.
• Vì \(q_C\) là điện tích dương, \(\vec{E}_{CB}\) sẽ hướng RA XA điện tích \(q_C\). Tức là, từ B, \(\vec{E}_{CB}\) hướng dọc theo đường thẳng BC, kéo dài ra phía ngoài đỉnh B (xa C).

Khi đó, góc giữa hai vectơ \(\vec{E}_{AB}\) và \(\vec{E}_{CB}\) (được vẽ xuất phát từ B) chính là góc trong của tam giác đều tại đỉnh B, tức là \(\alpha = 60^\circ\).

Bước 3: Tổng hợp các vectơ điện trường.

Cường độ điện trường tổng hợp tại B là \(\vec{E}_B = \vec{E}_{AB} + \vec{E}_{CB}\). Độ lớn của \(\vec{E}_B\) được tính bằng công thức tổng hợp vectơ:

\[ E_B = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0E_0 \cos 60^\circ} \]

Vì \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), ta có:

\[ E_B = \sqrt{2E_0^2 + 2E_0^2 \left(\frac{1}{2}\right)} \]
\[ E_B = \sqrt{2E_0^2 + E_0^2} \]
\[ E_B = \sqrt{3E_0^2} = E_0 \sqrt{3} \]

Vậy, độ lớn cường độ điện trường tại đỉnh B (đỉnh có điện tích cùng dấu với đa số) là \(E_B = k \frac{q}{a^2} \sqrt{3}\).

Về hướng của \(\vec{E}_B\): Vectơ tổng \(\vec{E}_B\) sẽ nằm trên đường phân giác của góc giữa \(\vec{E}_{AB}\) và \(\vec{E}_{CB}\). Nếu B là đỉnh dưới bên trái, nó sẽ hướng thẳng sang phải, song song với cạnh AC, hướng vào trong tam giác.

Do tính đối xứng, cường độ điện trường tại đỉnh C cũng sẽ có độ lớn tương tự \(E_C = E_0 \sqrt{3}\) và hướng đối xứng.

—

III. Tóm tắt kết quả:

Gọi \(E_{thành phần} = k \frac{q}{a^2}\).

a) Ba điện tích cùng dấu:

• Nếu ba điện tích đều là điện tích dương (\(+q\), \(+q\), \(+q\)): Cường độ điện trường tại mỗi đỉnh là \(E = k \frac{q}{a^2}\).
• Nếu ba điện tích đều là điện tích âm (\(-q\), \(-q\), \(-q\)): Cường độ điện trường tại mỗi đỉnh là \(E = k \frac{q}{a^2} \sqrt{3}\).

b) Một điện tích trái dấu với 2 điện tích kia:

• Tại đỉnh có điện tích trái dấu (ví dụ, \(-q\) khi hai điện tích kia là \(+q\)): Cường độ điện trường tại đỉnh đó là \(E = k \frac{q}{a^2}\).
• Tại mỗi đỉnh có điện tích cùng dấu với đa số (ví dụ, \(+q\) khi một điện tích là \(-q\) và một điện tích là \(+q\)): Cường độ điện trường tại mỗi đỉnh đó là \(E = k \frac{q}{a^2} \sqrt{3}\).

Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ cách giải bài tập dạng này nhé! Chúc các em học tốt!