Đề bài cho chúng ta:
– Hộp 1: 10 cầu trắng (T1), 5 cầu đỏ (Đ1). Tổng cộng 15 cầu.
– Hộp 2: 7 cầu trắng (T2), 8 cầu đỏ (Đ2). Tổng cộng 15 cầu.
– Hộp 3: 5 cầu trắng (T3). Ban đầu, hộp 3 không có cầu đỏ nào.

Các bước thực hiện:
1. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2 quả cầu.
2. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 2 ra 1 quả cầu.
3. Bỏ 3 quả cầu vừa lấy được vào hộp 3.
4. Từ hộp 3 đã được bổ sung, lấy ngẫu nhiên ra 1 quả cầu.

Yêu cầu: Tính xác suất để lấy được cầu đỏ ở bước 4.

Chúng ta sẽ chia bài toán này thành các bước nhỏ để dễ dàng giải quyết.

Bước 1: Phân tích các trường hợp lấy cầu từ hộp 1 và hộp 2.

Khi lấy 2 quả cầu từ hộp 1, có các trường hợp sau:
– Trường hợp 1.1: Lấy được 2 cầu trắng (TT).
– Trường hợp 1.2: Lấy được 1 cầu trắng, 1 cầu đỏ (TĐ).
– Trường hợp 1.3: Lấy được 2 cầu đỏ (ĐĐ).

Khi lấy 1 quả cầu từ hộp 2, có 2 trường hợp:
– Trường hợp 2.1: Lấy được 1 cầu trắng (T).
– Trường hợp 2.2: Lấy được 1 cầu đỏ (Đ).

Bước 2: Tính xác suất cho từng trường hợp lấy cầu từ hộp 1 và hộp 2.

Sử dụng công thức tổ hợp: Số cách chọn k phần tử từ n phần tử là \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

* Xác suất lấy cầu từ hộp 1:
* Tổng số cách lấy 2 quả cầu từ hộp 1 (15 cầu): \(C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105\).
* Xác suất trường hợp 1.1 (2 cầu trắng): Lấy 2 trắng từ 10 trắng. Số cách: \(C_{10}^2 = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45\).
Xác suất \(P(\text{2T từ hộp 1}) = \frac{C_{10}^2}{C_{15}^2} = \frac{45}{105} = \frac{3}{7}\).
* Xác suất trường hợp 1.2 (1 trắng, 1 đỏ): Lấy 1 trắng từ 10 trắng và 1 đỏ từ 5 đỏ. Số cách: \(C_{10}^1 \times C_5^1 = 10 \times 5 = 50\).
Xác suất \(P(\text{1T, 1Đ từ hộp 1}) = \frac{C_{10}^1 \times C_5^1}{C_{15}^2} = \frac{50}{105} = \frac{10}{21}\).
* Xác suất trường hợp 1.3 (2 cầu đỏ): Lấy 2 đỏ từ 5 đỏ. Số cách: \(C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\).
Xác suất \(P(\text{2Đ từ hộp 1}) = \frac{C_5^2}{C_{15}^2} = \frac{10}{105} = \frac{2}{21}\).
* Kiểm tra: \(\frac{3}{7} + \frac{10}{21} + \frac{2}{21} = \frac{9}{21} + \frac{10}{21} + \frac{2}{21} = \frac{21}{21} = 1\). Các xác suất cộng lại bằng 1, đúng rồi.

* Xác suất lấy cầu từ hộp 2:
* Tổng số cách lấy 1 quả cầu từ hộp 2 (15 cầu): \(C_{15}^1 = 15\).
* Xác suất trường hợp 2.1 (1 cầu trắng): Lấy 1 trắng từ 7 trắng. Số cách: \(C_7^1 = 7\).
Xác suất \(P(\text{1T từ hộp 2}) = \frac{C_7^1}{C_{15}^1} = \frac{7}{15}\).
* Xác suất trường hợp 2.2 (1 cầu đỏ): Lấy 1 đỏ từ 8 đỏ. Số cách: \(C_8^1 = 8\).
Xác suất \(P(\text{1Đ từ hộp 2}) = \frac{C_8^1}{C_{15}^1} = \frac{8}{15}\).
* Kiểm tra: \(\frac{7}{15} + \frac{8}{15} = \frac{15}{15} = 1\). Đúng.

Bước 3: Xác định thành phần các hộp sau khi bổ sung và tính xác suất lấy cầu đỏ từ hộp 3.

Sau khi lấy cầu từ hộp 1 và hộp 2, ta bỏ vào hộp 3 (ban đầu có 5 cầu trắng). Số cầu trong hộp 3 sẽ là \(5 + 2 + 1 = 8\) cầu.

Chúng ta cần xét các trường hợp kết hợp của việc lấy cầu từ hộp 1 và hộp 2. Có 3 trường hợp từ hộp 1 và 2 trường hợp từ hộp 2, vậy có \(3 \times 2 = 6\) trường hợp chính.

* Trường hợp A: Lấy 2T từ hộp 1 VÀ 1T từ hộp 2.
* Xác suất của trường hợp này: \(P(A) = P(\text{2T từ hộp 1}) \times P(\text{1T từ hộp 2}) = \frac{3}{7} \times \frac{7}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\).
* Số cầu trong hộp 3 sau khi bổ sung: 5 cầu trắng ban đầu + 2 cầu trắng (từ hộp 1) + 1 cầu trắng (từ hộp 2) = 8 cầu trắng.
* Trong trường hợp này, hộp 3 chỉ có cầu trắng, nên xác suất lấy được cầu đỏ là 0.
Xác suất \(P(\text{lấy Đ từ hộp 3} | A) = 0\).

* Trường hợp B: Lấy 2T từ hộp 1 VÀ 1Đ từ hộp 2.
* Xác suất của trường hợp này: \(P(B) = P(\text{2T từ hộp 1}) \times P(\text{1Đ từ hộp 2}) = \frac{3}{7} \times \frac{8}{15} = \frac{24}{105} = \frac{8}{35}\).
* Số cầu trong hộp 3 sau khi bổ sung: 5 cầu trắng ban đầu + 2 cầu trắng (từ hộp 1) + 1 cầu đỏ (từ hộp 2) = 7 cầu trắng, 1 cầu đỏ. Tổng 8 cầu.
* Xác suất lấy được cầu đỏ từ hộp 3: \(P(\text{lấy Đ từ hộp 3} | B) = \frac{\text{Số cầu đỏ}}{\text{Tổng số cầu}} = \frac{1}{8}\).

* Trường hợp C: Lấy 1T, 1Đ từ hộp 1 VÀ 1T từ hộp 2.
* Xác suất của trường hợp này: \(P(C) = P(\text{1T, 1Đ từ hộp 1}) \times P(\text{1T từ hộp 2}) = \frac{10}{21} \times \frac{7}{15} = \frac{70}{315} = \frac{2}{9}\).
* Số cầu trong hộp 3 sau khi bổ sung: 5 cầu trắng ban đầu + 1 cầu trắng (từ hộp 1) + 1 cầu đỏ (từ hộp 1) + 1 cầu trắng (từ hộp 2) = 7 cầu trắng, 1 cầu đỏ. Tổng 8 cầu.
* Xác suất lấy được cầu đỏ từ hộp 3: \(P(\text{lấy Đ từ hộp 3} | C) = \frac{1}{8}\).

* Trường hợp D: Lấy 1T, 1Đ từ hộp 1 VÀ 1Đ từ hộp 2.
* Xác suất của trường hợp này: \(P(D) = P(\text{1T, 1Đ từ hộp 1}) \times P(\text{1Đ từ hộp 2}) = \frac{10}{21} \times \frac{8}{15} = \frac{80}{315} = \frac{16}{63}\).
* Số cầu trong hộp 3 sau khi bổ sung: 5 cầu trắng ban đầu + 1 cầu trắng (từ hộp 1) + 1 cầu đỏ (từ hộp 1) + 1 cầu đỏ (từ hộp 2) = 6 cầu trắng, 2 cầu đỏ. Tổng 8 cầu.
* Xác suất lấy được cầu đỏ từ hộp 3: \(P(\text{lấy Đ từ hộp 3} | D) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

* Trường hợp E: Lấy 2Đ từ hộp 1 VÀ 1T từ hộp 2.
* Xác suất của trường hợp này: \(P(E) = P(\text{2Đ từ hộp 1}) \times P(\text{1T từ hộp 2}) = \frac{2}{21} \times \frac{7}{15} = \frac{14}{315} = \frac{2}{45}\).
* Số cầu trong hộp 3 sau khi bổ sung: 5 cầu trắng ban đầu + 2 cầu đỏ (từ hộp 1) + 1 cầu trắng (từ hộp 2) = 6 cầu trắng, 2 cầu đỏ. Tổng 8 cầu.
* Xác suất lấy được cầu đỏ từ hộp 3: \(P(\text{lấy Đ từ hộp 3} | E) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

* Trường hợp F: Lấy 2Đ từ hộp 1 VÀ 1Đ từ hộp 2.
* Xác suất của trường hợp này: \(P(F) = P(\text{2Đ từ hộp 1}) \times P(\text{1Đ từ hộp 2}) = \frac{2}{21} \times \frac{8}{15} = \frac{16}{315}\).
* Số cầu trong hộp 3 sau khi bổ sung: 5 cầu trắng ban đầu + 2 cầu đỏ (từ hộp 1) + 1 cầu đỏ (từ hộp 2) = 5 cầu trắng, 3 cầu đỏ. Tổng 8 cầu.
* Xác suất lấy được cầu đỏ từ hộp 3: \(P(\text{lấy Đ từ hộp 3} | F) = \frac{3}{8}\).

Kiểm tra lại tổng xác suất của các trường hợp A, B, C, D, E, F:
\(P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)+P(F)\)
\(= \frac{1}{5} + \frac{8}{35} + \frac{2}{9} + \frac{16}{63} + \frac{2}{45} + \frac{16}{315}\)
Quy đồng mẫu số chung là 315:
\(= \frac{63}{315} + \frac{72}{315} + \frac{70}{315} + \frac{80}{315} + \frac{14}{315} + \frac{16}{315}\)
\(= \frac{63 + 72 + 70 + 80 + 14 + 16}{315} = \frac{315}{315} = 1\).

Bước 4: Áp dụng công thức xác suất toàn phần để tính xác suất lấy được cầu đỏ.

Gọi Đ là biến cố “lấy được cầu đỏ từ hộp 3”.
Xác suất toàn phần để lấy được cầu đỏ là:
\(P(Đ) = P(Đ|A)P(A) + P(Đ|B)P(B) + P(Đ|C)P(C) + P(Đ|D)P(D) + P(Đ|E)P(E) + P(Đ|F)P(F)\)

Thay các giá trị đã tính vào:
\(P(Đ) = (0 \times \frac{1}{5}) + (\frac{1}{8} \times \frac{8}{35}) + (\frac{1}{8} \times \frac{2}{9}) + (\frac{1}{4} \times \frac{16}{63}) + (\frac{1}{4} \times \frac{2}{45}) + (\frac{3}{8} \times \frac{16}{315})\)
\(P(Đ) = 0 + \frac{1}{35} + \frac{2}{72} + \frac{16}{252} + \frac{2}{180} + \frac{48}{2520}\)
Rút gọn các phân số:
\(P(Đ) = \frac{1}{35} + \frac{1}{36} + \frac{2}{63} + \frac{1}{90} + \frac{2}{105}\)
(Lưu ý: \(\frac{16}{252} = \frac{4}{63}\), \(\frac{2}{180} = \frac{1}{90}\), \(\frac{48}{2520} = \frac{1}{105}\))
(Sửa lại: \(P(Đ|D) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\), \(P(Đ|E) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\))
(Tính toán lại từng bước)
\(P(Đ) = (0 \times \frac{1}{5}) + (\frac{1}{8} \times \frac{8}{35}) + (\frac{1}{8} \times \frac{2}{9}) + (\frac{2}{8} \times \frac{16}{63}) + (\frac{2}{8} \times \frac{2}{45}) + (\frac{3}{8} \times \frac{16}{315})\)
\(P(Đ) = 0 + \frac{1}{35} + \frac{2}{72} + \frac{32}{504} + \frac{4}{360} + \frac{48}{2520}\)
Rút gọn:
\(P(Đ) = \frac{1}{35} + \frac{1}{36} + \frac{1}{16} + \frac{1}{90} + \frac{2}{105}\)
(Sửa lại: \(P(Đ|D) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\), \(P(D) = \frac{16}{63}\). Vậy \(\frac{1}{4} \times \frac{16}{63} = \frac{4}{63}\))
(Sửa lại: \(P(Đ|E) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\), \(P(E) = \frac{2}{45}\). Vậy \(\frac{1}{4} \times \frac{2}{45} = \frac{1}{90}\))

Ta tính lại từ đầu công thức xác suất toàn phần với các giá trị chính xác:
\(P(Đ) = P(Đ|A)P(A) + P(Đ|B)P(B) + P(Đ|C)P(C) + P(Đ|D)P(D) + P(Đ|E)P(E) + P(Đ|F)P(F)\)
\(P(Đ) = (0 \times \frac{1}{5}) + (\frac{1}{8} \times \frac{8}{35}) + (\frac{1}{8} \times \frac{2}{9}) + (\frac{2}{8} \times \frac{16}{63}) + (\frac{2}{8} \times \frac{2}{45}) + (\frac{3}{8} \times \frac{16}{315})\)
\(P(Đ) = 0 + \frac{1}{35} + \frac{2}{72} + \frac{32}{504} + \frac{4}{360} + \frac{48}{2520}\)
Rút gọn các phân số này:
\(\frac{1}{35}\)
\(\frac{2}{72} = \frac{1}{36}\)
\(\frac{32}{504} = \frac{4}{63}\)
\(\frac{4}{360} = \frac{1}{90}\)
\(\frac{48}{2520} = \frac{1}{105}\)

\(P(Đ) = \frac{1}{35} + \frac{1}{36} + \frac{4}{63} + \frac{1}{90} + \frac{1}{105}\)
Mẫu số chung nhỏ nhất của 35, 36, 63, 90, 105 là 1260.
\(35 = 5 \times 7\)
\(36 = 2^2 \times 3^2\)
\(63 = 3^2 \times 7\)
\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
\(105 = 3 \times 5 \times 7\)
\(1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 4 \times 9 \times 35 = 36 \times 35 = 1260\)

\(P(Đ) = \frac{1 \times 36}{35 \times 36} + \frac{1 \times 35}{36 \times 35} + \frac{4 \times 20}{63 \times 20} + \frac{1 \times 14}{90 \times 14} + \frac{1 \times 12}{105 \times 12}\)
\(P(Đ) = \frac{36}{1260} + \frac{35}{1260} + \frac{80}{1260} + \frac{14}{1260} + \frac{12}{1260}\)
\(P(Đ) = \frac{36 + 35 + 80 + 14 + 12}{1260}\)
\(P(Đ) = \frac{177}{1260}\)

Kiểm tra xem phân số này có rút gọn được không.
177 chia hết cho 3 (vì 1+7+7=15). \(177 = 3 \times 59\).
1260 chia hết cho 3. \(1260 = 3 \times 420\).
Vậy \(P(Đ) = \frac{59}{420}\).
59 là số nguyên tố. 420 không chia hết cho 59.

Vậy xác suất để lấy được cầu đỏ từ hộp 3 là \(\frac{59}{420}\).

Các em thấy đó, một bài toán có vẻ phức tạp nhưng khi chúng ta chia nhỏ từng bước, phân tích cẩn thận từng trường hợp và áp dụng đúng công thức thì việc giải quyết sẽ trở nên dễ dàng hơn.
Nhớ ôn lại các công thức tổ hợp và xác suất toàn phần nhé các em. Hẹn gặp lại các em ở bài học tiếp theo!