Có 8 người vào cùng thang máy ở tầng 1 của một toà nhà cao 10 tầng và đi lên. T…

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy rất vui được hướng dẫn các em giải một bài toán xác suất thú vị, liên quan đến kiến thức Tổ hợp và Xác suất mà chúng ta đã học trong chương trình Toán lớp 10. Đây là một dạng bài điển hình, đòi hỏi sự tư duy logic và khả năng phân tích từng trường hợp nhỏ.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN:

Có 8 người vào thang máy ở tầng 1 và đi lên một toà nhà cao 10 tầng. Điều này có nghĩa là họ có thể ra ở các tầng từ tầng 2 đến tầng 10. Vậy có tổng cộng $10–1=9$ tầng mà mỗi người có thể đi ra.

Chúng ta cần tính xác suất để trong 8 người đó có đúng 2 người cùng đi ra ở 1 tầng và mỗi người còn lại (6 người) đi ra ở mỗi tầng khác nhau.

BÀI GIẢI CHI TIẾT:

Bước 1: Xác định không gian mẫu $\Omega$ và tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega )$

Mỗi người trong 8 người có thể chọn 1 trong 9 tầng để đi ra (từ tầng 2 đến tầng 10). Việc chọn tầng của mỗi người là độc lập với những người khác, và có thể có nhiều người cùng chọn một tầng. Đây là một bài toán hoán vị lặp (hay sắp xếp có lặp lại).

Số cách mỗi người chọn tầng là 9. Vì có 8 người, nên số cách chọn tầng cho 8 người là:

$$n(\Omega )=9^8$$

Giải thích: Chúng ta áp dụng quy tắc nhân. Mỗi người có 9 lựa chọn tầng, và có 8 người. Do đó, tổng số cách để 8 người chọn tầng là $9\times 9\times \dots \times 9$ (8 lần), tức là $9^8$. Đây là số tất cả các kết quả có thể xảy ra khi 8 người rời thang máy.

Tính toán: $9^8=\mathrm{43.046.721}$.

Bước 2: Xác định biến cố A và tính số phần tử của biến cố A ($n\left(A\right)$)

Biến cố A là: “Có đúng 2 người cùng đi ra ở 1 tầng và mỗi người còn lại (6 người) đi ra ở mỗi tầng khác nhau.”

Để tính $n\left(A\right)$, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 2.1: Chọn 2 người trong 8 người để cùng xuống một tầng.

Số cách chọn 2 người này là một tổ hợp, vì thứ tự chọn không quan trọng:

$$C_8^2=\frac{8!}{2!(8–2)!}=\frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}=28$$

Giải thích: Chúng ta dùng công thức tổ hợp $C_n^k$ vì cần chọn ra một nhóm gồm 2 người từ 8 người mà không quan tâm đến thứ tự.

Bước 2.2: Chọn 1 tầng trong 9 tầng để 2 người này cùng xuống.

Có 9 lựa chọn tầng (từ tầng 2 đến tầng 10) cho nhóm 2 người này:

$$C_9^1=9$$

Giải thích: Chúng ta dùng công thức tổ hợp $C_n^k$ để chọn 1 tầng từ 9 tầng.

Bước 2.3: 6 người còn lại sẽ đi ra ở 6 tầng khác nhau, và các tầng này phải khác với tầng mà 2 người kia đã xuống.

Sau khi 1 tầng đã được chọn cho 2 người ở Bước 2.2, còn lại $9–1=8$ tầng chưa có người xuống.

6 người còn lại phải xuống ở 6 tầng khác nhau trong số 8 tầng còn lại này. Đây là một chỉnh hợp (sắp xếp), vì mỗi người là khác nhau và mỗi tầng cũng là khác nhau (thứ tự người ra ở các tầng là quan trọng).

Số cách sắp xếp 6 người vào 6 tầng khác nhau từ 8 tầng còn lại là:

$$A_8^6=\frac{8!}{(8–6)!}=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=20.160$$

Giải thích: Chúng ta dùng công thức chỉnh hợp $A_n^k$ vì cần chọn 6 tầng từ 8 tầng VÀ sắp xếp 6 người khác nhau vào 6 tầng đã chọn này (thứ tự của người và tầng có vai trò khác nhau). Ví dụ, người A xuống tầng 3, người B xuống tầng 4 khác với người A xuống tầng 4, người B xuống tầng 3.

Bước 2.4: Tính tổng số phần tử của biến cố A ($n\left(A\right)$)

Áp dụng quy tắc nhân, ta có:

$$n\left(A\right)=C_8^2\cdot 9\cdot A_8^6$$
$$n\left(A\right)=28\cdot 9\cdot 20.160$$
$$n\left(A\right)=252\cdot 20.160$$
$$n\left(A\right)=\mathrm{5.080.320}$$

Bước 3: Tính xác suất của biến cố A ($P\left(A\right)$)

Xác suất của biến cố A được tính bằng công thức:

$$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n(\Omega )}$$

Thay các giá trị đã tính vào:

$$P\left(A\right)=\frac{\mathrm{5.080.320}}{\mathrm{43.046.721}}$$

Để đơn giản phân số này, ta nhận thấy cả tử và mẫu đều chia hết cho 9:

$$P\left(A\right)=\frac{\mathrm{5.080.320}÷9}{\mathrm{43.046.721}÷9}=\frac{564.480}{\mathrm{4.782.969}}$$

Đây là phân số đã được rút gọn.

Kết luận:

Vậy xác suất để trong 8 người đó có 2 người cùng đi ra ở 1 tầng và mỗi người còn lại vào mỗi tầng khác nhau là

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức nhé!