Chào các em học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị liên quan đến tính chẵn lẻ của tổng các chữ số. Bài toán này đòi hỏi sự tư duy logic và vận dụng kiến thức về các loại số.

Chúng ta sẽ đi từng bước một, đảm bảo các em nắm vững bản chất của vấn đề.

Bước 1: Phân tích yêu cầu của đề bài
Chúng ta cần tìm số lượng các số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn điều kiện: tổng của 5 chữ số đó là một số lẻ.

Bước 2: Xác định các loại số có 5 chữ số
Số tự nhiên có 5 chữ số là những số bắt đầu từ 10000 đến 99999.
Chữ số hàng chục nghìn (chữ số đầu tiên) không thể là 0. Các chữ số còn lại (hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị) có thể từ 0 đến 9.

Bước 3: Xét tính chẵn lẻ của tổng các chữ số
Tổng của 5 chữ số là một số lẻ.
Chúng ta cần nhớ lại quy tắc cộng của số chẵn và số lẻ:
– Chẵn + Chẵn = Chẵn
– Lẻ + Lẻ = Chẵn
– Chẵn + Lẻ = Lẻ

Để tổng của 5 số là một số lẻ, chúng ta có các trường hợp sau về số lượng chữ số lẻ:
– Trường hợp 1: Có 1 chữ số lẻ và 4 chữ số chẵn. (1 Lẻ + 4 Chẵn = Lẻ)
– Trường hợp 2: Có 3 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn. (3 Lẻ + 2 Chẵn = Lẻ)
– Trường hợp 3: Có 5 chữ số lẻ và 0 chữ số chẵn. (5 Lẻ = Lẻ)

Bước 4: Xét riêng chữ số hàng chục nghìn (chữ số đầu tiên)
Chữ số hàng chục nghìn có thể là các số từ 1 đến 9.
– Các chữ số lẻ có thể là: 1, 3, 5, 7, 9 (có 5 chữ số).
– Các chữ số chẵn có thể là: 2, 4, 6, 8 (có 4 chữ số). (Lưu ý: 0 không thể là chữ số hàng chục nghìn).

Bước 5: Phân tích từng trường hợp dựa trên tính chẵn lẻ của chữ số đầu tiên

Chúng ta sẽ chia bài toán thành hai trường hợp lớn dựa trên chữ số hàng chục nghìn là chẵn hay lẻ. Điều này giúp chúng ta dễ dàng tính toán số lượng các chữ số còn lại.

Trường hợp A: Chữ số hàng chục nghìn là số lẻ.
Trong trường hợp này, có 5 lựa chọn cho chữ số hàng chục nghìn (1, 3, 5, 7, 9).
Để tổng 5 chữ số là lẻ, ta có các khả năng sau về số lượng chữ số lẻ trong 4 chữ số còn lại:
* A1: 0 chữ số lẻ và 4 chữ số chẵn.
Nếu chữ số đầu tiên là lẻ (1 chữ số lẻ), và 4 chữ số còn lại đều chẵn (0 chữ số lẻ), thì tổng cộng ta có 1 chữ số lẻ và 4 chữ số chẵn. Tổng sẽ là lẻ.
– Chữ số hàng chục nghìn: 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9).
– 4 chữ số còn lại (hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị): mỗi chữ số có 5 cách chọn (0, 2, 4, 6, 8).
Số lượng số trong trường hợp này là: \(5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 = 3125\).

* A2: 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn.
Nếu chữ số đầu tiên là lẻ (1 chữ số lẻ), và 4 chữ số còn lại có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn, thì tổng cộng ta có 1+2 = 3 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn. Tổng sẽ là lẻ.
– Chữ số hàng chục nghìn: 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9).
– Đối với 4 vị trí còn lại, ta cần chọn 2 vị trí cho chữ số lẻ và 2 vị trí cho chữ số chẵn.
+ Số cách chọn 2 vị trí trong 4 vị trí là: \(\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\).
+ Chữ số lẻ có 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9).
+ Chữ số chẵn có 5 cách chọn (0, 2, 4, 6, 8).
Số lượng số trong trường hợp này là: \(5 \times \binom{4}{2} \times 5^2 \times 5^2 = 5 \times 6 \times 25 \times 25 = 30 \times 625 = 18750\).

* A3: 4 chữ số lẻ và 0 chữ số chẵn.
Nếu chữ số đầu tiên là lẻ (1 chữ số lẻ), và 4 chữ số còn lại đều là lẻ (4 chữ số lẻ), thì tổng cộng ta có 1+4 = 5 chữ số lẻ và 0 chữ số chẵn. Tổng sẽ là lẻ.
– Chữ số hàng chục nghìn: 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9).
– 4 chữ số còn lại (hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị): mỗi chữ số có 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9).
Số lượng số trong trường hợp này là: \(5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 = 3125\).

Tổng số các số khi chữ số hàng chục nghìn là lẻ là: \(3125 + 18750 + 3125 = 25000\).

Trường hợp B: Chữ số hàng chục nghìn là số chẵn.
Trong trường hợp này, có 4 lựa chọn cho chữ số hàng chục nghìn (2, 4, 6, 8). (Lưu ý: 0 không được).
Để tổng 5 chữ số là lẻ, ta có các khả năng sau về số lượng chữ số lẻ trong 4 chữ số còn lại:
* B1: 1 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn.
Nếu chữ số đầu tiên là chẵn (0 chữ số lẻ), và 4 chữ số còn lại có 1 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn, thì tổng cộng ta có 0+1 = 1 chữ số lẻ và 0+3 = 3 chữ số chẵn. Tổng sẽ là lẻ.
– Chữ số hàng chục nghìn: 4 cách chọn (2, 4, 6, 8).
– Đối với 4 vị trí còn lại, ta cần chọn 1 vị trí cho chữ số lẻ và 3 vị trí cho chữ số chẵn.
+ Số cách chọn 1 vị trí trong 4 vị trí là: \(\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4\).
+ Chữ số lẻ có 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9).
+ Chữ số chẵn có 5 cách chọn (0, 2, 4, 6, 8).
Số lượng số trong trường hợp này là: \(4 \times \binom{4}{1} \times 5^1 \times 5^3 = 4 \times 4 \times 5 \times 125 = 16 \times 625 = 10000\).

* B2: 3 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn.
Nếu chữ số đầu tiên là chẵn (0 chữ số lẻ), và 4 chữ số còn lại có 3 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn, thì tổng cộng ta có 0+3 = 3 chữ số lẻ và 0+1 = 1 chữ số chẵn. Tổng sẽ là lẻ.
– Chữ số hàng chục nghìn: 4 cách chọn (2, 4, 6, 8).
– Đối với 4 vị trí còn lại, ta cần chọn 3 vị trí cho chữ số lẻ và 1 vị trí cho chữ số chẵn.
+ Số cách chọn 3 vị trí trong 4 vị trí là: \(\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4\).
+ Chữ số lẻ có 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9).
+ Chữ số chẵn có 5 cách chọn (0, 2, 4, 6, 8).
Số lượng số trong trường hợp này là: \(4 \times \binom{4}{3} \times 5^3 \times 5^1 = 4 \times 4 \times 125 \times 5 = 16 \times 625 = 10000\).

Tổng số các số khi chữ số hàng chục nghìn là chẵn là: \(10000 + 10000 = 20000\).

Bước 6: Tính tổng số các số thỏa mãn yêu cầu
Tổng số các số tự nhiên có 5 chữ số mà tổng các chữ số là một số lẻ sẽ bằng tổng số các số trong Trường hợp A và Trường hợp B.
Tổng số: \(25000 + 20000 = 45000\).

Cách giải khác đơn giản hơn:

Chúng ta có thể tiếp cận bài toán bằng cách nhận thấy một quy luật đặc biệt.
Số lượng các số tự nhiên có 5 chữ số là: \(9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90000\).
Các số này được phân bố đều giữa các số có tổng các chữ số là số lẻ và các số có tổng các chữ số là số chẵn.
Lý do là vì mỗi khi ta thay đổi một chữ số từ chẵn sang lẻ hoặc ngược lại, tính chẵn lẻ của tổng sẽ thay đổi.

Xét một số có 5 chữ số bất kỳ. Ví dụ: 12345. Tổng là 15 (lẻ).
Nếu ta thay đổi chữ số hàng đơn vị từ 5 (lẻ) thành 6 (chẵn), ta được 12346. Tổng là 16 (chẵn).
Nếu ta thay đổi chữ số hàng chục từ 4 (chẵn) thành 5 (lẻ), ta được 12355. Tổng là 21 (lẻ).

Do sự đối xứng này, số lượng các số có tổng các chữ số là lẻ sẽ bằng số lượng các số có tổng các chữ số là chẵn.

Vậy, số lượng các số tự nhiên có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số là một số lẻ sẽ bằng một nửa tổng số các số tự nhiên có 5 chữ số.
Tổng số các số tự nhiên có 5 chữ số là 90000.
Số lượng số có tổng các chữ số là lẻ là: \(90000 \div 2 = 45000\).

Kết luận:
Có 45000 số tự nhiên có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số là một số lẻ.

Các em thấy không, đôi khi có những cách giải rất trực quan và hiệu quả. Quan trọng là chúng ta phải hiểu rõ bản chất của bài toán. Nếu có thắc mắc, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!