Công thức đạo hàm giá trị tuyệt đối
Đạo hàm biểu thức dưới đây \(y = |x^2 -2x -3…
Đạo hàm biểu thức dưới đây \(y = |x^2 -2x -3|\)
Bài tập của chúng ta là tìm đạo hàm của biểu thức sau:
y = |x^2 – 2x – 3|
Để giải bài tập này, chúng ta cần nhớ lại một công thức quan trọng về đạo hàm của hàm số giá trị tuyệt đối.
Nhắc lại công thức đạo hàm của hàm số giá trị tuyệt đối:
Nếu ta có hàm số f(x) và muốn tìm đạo hàm của |f(x)|, ta sẽ xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu f(x) > 0, thì |f(x)| = f(x). Khi đó, đạo hàm của |f(x)| chính là đạo hàm của f(x), tức là:
( |f(x)| )’ = ( f(x) )’
Trường hợp 2: Nếu f(x) < 0, thì |f(x)| = -f(x). Khi đó, đạo hàm của |f(x)| là đạo hàm của -f(x), tức là:
( |f(x)| )' = ( -f(x) )' = - ( f(x) )'
Tuy nhiên, để tiện cho việc tính toán, chúng ta có thể sử dụng một công thức tổng quát hơn, đó là:
\[ \left( |f(x)| \right)' = \frac{f(x) \cdot f'(x)}{|f(x)|} \quad \text{với } f(x) \neq 0 \]
Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này vào bài tập của mình.
Bước 1: Xác định hàm f(x)
Trong biểu thức y = |x^2 – 2x – 3|, ta có hàm số bên trong dấu giá trị tuyệt đối là:
f(x) = x^2 – 2x – 3
Bước 2: Tính đạo hàm của f(x)
Ta sẽ tính đạo hàm của f(x) = x^2 – 2x – 3. Sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản mà chúng ta đã học:
(x^n)’ = n*x^(n-1)
(c*x)’ = c
(c)’ = 0 (với c là hằng số)
Vậy, đạo hàm của f(x) là:
f'(x) = (x^2 – 2x – 3)’
f'(x) = (x^2)’ – (2x)’ – (3)’
f'(x) = 2x – 2 – 0
f'(x) = 2x – 2
Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm giá trị tuyệt đối
Bây giờ, chúng ta áp dụng công thức:
( |f(x)| )’ = \frac{f(x) \cdot f'(x)}{|f(x)|}
Thay f(x) và f'(x) vào công thức:
y’ = \frac{(x^2 – 2x – 3) \cdot (2x – 2)}{|x^2 – 2x – 3|}
Bước 4: Lưu ý điều kiện xác định
Công thức này chỉ đúng khi mẫu số khác 0, tức là:
x^2 – 2x – 3 \neq 0
Chúng ta cần tìm các giá trị của x làm cho biểu thức này bằng 0 để loại trừ.
Ta giải phương trình: x^2 – 2x – 3 = 0
Đây là một phương trình bậc hai, chúng ta có thể phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm.
Phân tích thành nhân tử:
(x – 3)(x + 1) = 0
Suy ra, x = 3 hoặc x = -1.
Vậy, đạo hàm của hàm số y = |x^2 – 2x – 3| là:
\[ y’ = \frac{(x^2 – 2x – 3)(2x – 2)}{|x^2 – 2x – 3|} \quad \text{với } x \neq 3 \text{ và } x \neq -1 \]
Các em có thể rút gọn thêm phần tử số (2x – 2) bằng cách đặt 2 ra ngoài:
2x – 2 = 2(x – 1)
Do đó, biểu thức đạo hàm có thể viết là:
\[ y’ = \frac{2(x^2 – 2x – 3)(x – 1)}{|x^2 – 2x – 3|} \quad \text{với } x \neq 3 \text{ và } x \neq -1 \]
Tóm lại:
Để đạo hàm một biểu thức dạng |f(x)|, chúng ta thường sử dụng công thức
\[ \left( |f(x)| \right)’ = \frac{f(x) \cdot f'(x)}{|f(x)|} \quad \text{với } f(x) \neq 0 \]
Và đừng quên tìm điều kiện để mẫu số khác 0.
Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa để nắm vững kiến thức này nhé. Có chỗ nào chưa hiểu, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy.
\(y = |x^2 – 2x – 3| = sqrt{(x^2-2x-3)^2}\)
\(y’ = ( ((x^2-2x-3)^2)’)/(2sqrt{(x^2-2x-3)^2})\)
\( = ( 2(x^2-2x-3) . (2x-2))/(2|x^2-2x-3|)\)
\( = ( (x^2-2x-3)(2x-2))/(|x^2-2x-3|)\)
\(y’=(|x^2-2x-3|)’=(sqrt((x^2-2x-3)^2))’\)
\(=(((x^2-2x-3)^2)^(1/2))’\)
\(= 1/2. ((x^2-2x-3)^2)^(-1/2) .((x^2-2x-3)^2)’\)
\(=1/2 . 1/sqrt((x^2-2x-3)^2) . 2.(x^2-2x-3).(x^2-2x-3)’\)
\(=1/(2.|x^2-2x-3|) .2.(x^2-2x-3).(2x-2)\)
\(=((x^2-2x-3)(2x-2))/(|x^2-2x-3|)\)
Nếu \(x^2-2x-3>=0\)
\(y’=((x^2-2x-3)(2x-2))/(x^2-2x-3)=2x-2\)
Nếu \(x^2 -2x-3<0\)
\(y’=((x^2-2x-3)(2x-2))/(-(x^2-2x-3))=2-2x\)
_____
\((u^(alpha))’=alpha.u^(alpha-1) .u’\) \((u\) là hàm hợp \()\)
\((C)’=0\)