Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác khá thú vị. Bài toán yêu cầu giải phương trình:

cos^2 3x . cos2x – cos^2x = 0

Các em đừng lo lắng nhé, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước một, giống như cách chúng ta đã học trong sách giáo khoa.

Bước 1: Quan sát và nhận dạng bài toán.

Nhìn vào phương trình, các em thấy có sự xuất hiện của các lũy thừa bậc hai của cosin, đó là cos^2 3x và cos^2x. Điều này gợi ý cho chúng ta nghĩ đến việc sử dụng các công thức hạ bậc hoặc biến đổi để đưa về các biểu thức đơn giản hơn.

Bước 2: Áp dụng công thức hạ bậc.

Trong Sách giáo khoa Toán 11, các em đã được học công thức hạ bậc cho cos^2 alpha. Chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho cả cos^2 3x và cos^2x.

Nhớ lại công thức: cos^2 alpha = \(\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\)

Áp dụng cho cos^2 3x:
cos^2 3x = \(\frac{1 + \cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 + \cos 6x}{2}\)

Áp dụng cho cos^2x:
cos^2x = \(\frac{1 + \cos(2 \cdot x)}{2} = \frac{1 + \cos 2x}{2}\)

Bước 3: Thay thế vào phương trình ban đầu.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các biểu thức vừa tìm được vào phương trình ban đầu:

\(\frac{1 + \cos 6x}{2} \cdot \cos 2x – \frac{1 + \cos 2x}{2} = 0\)

Bước 4: Rút gọn phương trình.

Để làm cho phương trình gọn gàng hơn, chúng ta có thể nhân cả hai vế với 2:

\((1 + \cos 6x) \cdot \cos 2x – (1 + \cos 2x) = 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành nhân phân phối:

\(\cos 2x + \cos 6x \cdot \cos 2x – 1 – \cos 2x = 0\)

Các em thấy đó, \(\cos 2x\) và \(-\cos 2x\) sẽ triệt tiêu nhau:

\(\cos 6x \cdot \cos 2x – 1 = 0\)

Bước 5: Tiếp tục áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Phương trình bây giờ có dạng một tích của hai cosin. Chúng ta lại nhớ đến công thức biến đổi tích thành tổng trong Sách giáo khoa.

Công thức là: \(\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A – B) + \cos(A + B)]\)

Áp dụng công thức này với A = 6x và B = 2x:

\(\frac{1}{2}[\cos(6x – 2x) + \cos(6x + 2x)] – 1 = 0\)

\(\frac{1}{2}[\cos 4x + \cos 8x] – 1 = 0\)

Bước 6: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản.

Nhân cả hai vế với 2:

\(\cos 4x + \cos 8x – 2 = 0\)

\(\cos 4x + \cos 8x = 2\)

Bước 7: Tìm nghiệm dựa trên tính chất của hàm cosin.

Chúng ta biết rằng giá trị lớn nhất của hàm cosin là 1. Tức là, \(\cos \alpha \le 1\) với mọi \(\alpha\).

Trong phương trình \(\cos 4x + \cos 8x = 2\), để tổng này bằng 2, thì cả hai số hạng \(\cos 4x\) và \(\cos 8x\) đều phải bằng 1.

Tức là, chúng ta cần giải hai điều kiện đồng thời:
1. \(\cos 4x = 1\)
2. \(\cos 8x = 1\)

Bước 8: Giải từng điều kiện.

Đối với điều kiện \(\cos 4x = 1\):
Theo công thức nghiệm của phương trình \(\cos u = 1\), chúng ta có \(u = k2\pi\), với k là số nguyên.
Vậy: \(4x = k2\pi\)
Chia cả hai vế cho 4, ta được: \(x = \frac{k2\pi}{4} = \frac{k\pi}{2}\), với k là số nguyên.

Đối với điều kiện \(\cos 8x = 1\):
Tương tự, ta có: \(8x = m2\pi\), với m là số nguyên.
Chia cả hai vế cho 8, ta được: \(x = \frac{m2\pi}{8} = \frac{m\pi}{4}\), với m là số nguyên.

Bước 9: Tìm các giá trị x thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện.

Chúng ta cần tìm các giá trị x có dạng \(\frac{k\pi}{2}\) và \(\frac{m\pi}{4}\) sao cho chúng cùng bằng nhau.
Tức là, ta cần tìm các số nguyên k, m sao cho:
\(\frac{k\pi}{2} = \frac{m\pi}{4}\)

Nhân cả hai vế với \(\frac{4}{\pi}\):
\(2k = m\)

Điều này có nghĩa là m phải là một số chẵn. Nếu m là một số chẵn, thì \(x = \frac{m\pi}{4}\) sẽ luôn có dạng \(\frac{(2k)\pi}{4} = \frac{k\pi}{2}\).
Do đó, tập nghiệm của \(\cos 8x = 1\) đã bao gồm tất cả các nghiệm của \(\cos 4x = 1\).

Vì vậy, chúng ta chỉ cần lấy nghiệm của điều kiện mà bao gồm tất cả các giá trị khác. Trong trường hợp này, đó là \(x = \frac{m\pi}{4}\).

Bước 10: Kết luận tập nghiệm.

Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm là:
\(x = \frac{m\pi}{4}\), với m là số nguyên.

Các em có thể viết dưới dạng tập hợp nghiệm: \(S = \{ \frac{m\pi}{4} \mid m \in \mathbb{Z} \}\).

Các em thấy không, bài toán tuy có vẻ phức tạp lúc đầu nhưng khi chúng ta áp dụng đúng các công thức đã học một cách tuần tự thì mọi thứ trở nên rõ ràng. Quan trọng là phải bình tĩnh, phân tích đề bài và nhớ lại các công thức lượng giác đã học nhé!