Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về phương trình lượng giác cơ bản trong chương trình Toán 11. Đây là dạng bài thường gặp và rất quan trọng để nắm vững kiến thức về hàm số lượng giác. Dù các em học theo bộ sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều thì phương pháp giải đều tương tự nhau, rất chuẩn mực và dễ hiểu nhé.

Chúng ta sẽ giải bài toán: “Phương trình \(\text{cos}x = \frac{1}{2}\) có mấy nghiệm trong khoảng \([0; 3\pi]\)?”

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây:

1. Tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình.
2. Xác định các giá trị nghiệm cụ thể nằm trong khoảng đã cho.
3. Đếm số lượng nghiệm tìm được.

Bây giờ, chúng ta cùng đi vào chi tiết từng bước nhé!

Bước 1: Tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình \(\text{cos}x = \frac{1}{2}\)

Để giải phương trình \(\text{cos}x = a\), chúng ta cần tìm một giá trị \(\alpha\) sao cho \(\text{cos}\alpha = a\). Sau đó, áp dụng công thức nghiệm tổng quát.

Ở đây, phương trình của chúng ta là \(\text{cos}x = \frac{1}{2}\).

Chúng ta biết rằng \(\text{cos}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\). (Đây là một giá trị đặc biệt mà chúng ta cần nhớ hoặc tra bảng giá trị lượng giác).

Vậy, phương trình trở thành \(\text{cos}x = \text{cos}\left(\frac{\pi}{3}\right)\).

Theo công thức nghiệm tổng quát của phương trình \(\text{cos}x = \text{cos}\alpha\), ta có hai họ nghiệm:

\[ x = \alpha + k2\pi \]
\[ x = -\alpha + k2\pi \]

Với \(k \in \mathbb{Z}\) (tức là \(k\) là một số nguyên: …, -2, -1, 0, 1, 2, …).

Áp dụng vào bài toán của chúng ta với \(\alpha = \frac{\pi}{3}\), ta được:

\[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (1) \]
\[ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (2) \]

Đây chính là các nghiệm tổng quát của phương trình \(\text{cos}x = \frac{1}{2}\).

Bước 2: Xác định các giá trị nghiệm cụ thể nằm trong khoảng \([0; 3\pi]\)

Chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) từ các họ nghiệm trên sao cho \(0 \le x \le 3\pi\).

Xét họ nghiệm thứ nhất: \(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\)

Chúng ta thay điều kiện \([0; 3\pi]\) vào công thức nghiệm:

\[ 0 \le \frac{\pi}{3} + k2\pi \le 3\pi \]

Để tìm giá trị của \(k\), chúng ta sẽ biến đổi bất đẳng thức này:

Đầu tiên, trừ \(\frac{\pi}{3}\) ở tất cả các vế:

\[ 0 – \frac{\pi}{3} \le k2\pi \le 3\pi – \frac{\pi}{3} \]
\[ -\frac{\pi}{3} \le k2\pi \le \frac{9\pi}{3} – \frac{\pi}{3} \]
\[ -\frac{\pi}{3} \le k2\pi \le \frac{8\pi}{3} \]

Tiếp theo, chia tất cả các vế cho \(2\pi\) (lưu ý \(2\pi\) là số dương nên chiều của bất đẳng thức không đổi):

\[ \frac{-\frac{\pi}{3}}{2\pi} \le k \le \frac{\frac{8\pi}{3}}{2\pi} \]
\[ -\frac{1}{6} \le k \le \frac{8}{6} \]

Hay là:

\[ -0,166… \le k \le 1,333… \]

Vì \(k\) là số nguyên, nên các giá trị \(k\) thỏa mãn là \(k=0\) và \(k=1\).

• Với \(k=0\): \(x = \frac{\pi}{3} + 0 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{3}\). Giá trị này nằm trong khoảng \([0; 3\pi]\).
• Với \(k=1\): \(x = \frac{\pi}{3} + 1 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}\). Giá trị này nằm trong khoảng \([0; 3\pi]\).

Xét họ nghiệm thứ hai: \(x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi\)

Chúng ta cũng thay điều kiện \([0; 3\pi]\) vào công thức nghiệm:

\[ 0 \le -\frac{\pi}{3} + k2\pi \le 3\pi \]

Tương tự, chúng ta biến đổi bất đẳng thức này:

Đầu tiên, cộng \(\frac{\pi}{3}\) vào tất cả các vế:

\[ 0 + \frac{\pi}{3} \le k2\pi \le 3\pi + \frac{\pi}{3} \]
\[ \frac{\pi}{3} \le k2\pi \le \frac{9\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \]
\[ \frac{\pi}{3} \le k2\pi \le \frac{10\pi}{3} \]

Tiếp theo, chia tất cả các vế cho \(2\pi\):

\[ \frac{\frac{\pi}{3}}{2\pi} \le k \le \frac{\frac{10\pi}{3}}{2\pi} \]
\[ \frac{1}{6} \le k \le \frac{10}{6} \]

Hay là:

\[ 0,166… \le k \le 1,666… \]

Vì \(k\) là số nguyên, nên giá trị \(k\) thỏa mãn là \(k=1\).

• Với \(k=1\): \(x = -\frac{\pi}{3} + 1 \cdot 2\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\). Giá trị này nằm trong khoảng \([0; 3\pi]\).

Bước 3: Đếm số lượng nghiệm tìm được

Các nghiệm mà chúng ta tìm được trong khoảng \([0; 3\pi]\) là:

• Từ họ nghiệm thứ nhất: \(\frac{\pi}{3}\) và \(\frac{7\pi}{3}\).
• Từ họ nghiệm thứ hai: \(\frac{5\pi}{3}\).

Tất cả các nghiệm này đều khác nhau. Vậy, tổng cộng có 3 nghiệm.

Kết luận:

Phương trình \(\text{cos}x = \frac{1}{2}\) có 3 nghiệm trong khoảng \([0; 3\pi]\).

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết từng bước này, các em đã nắm vững cách tìm nghiệm phương trình lượng giác trong một khoảng xác định. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé! Cố gắng luyện tập thêm để làm chủ dạng bài này nha các em!