Thầy rất vui khi nhận được câu hỏi của em. Đây là một dạng bài phương trình lượng giác quen thuộc trong chương trình Toán 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích và công thức góc nhân đôi để đưa phương trình về dạng tích.

Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng bước như sau:

Phương trình của chúng ta là:

\( \cos x + \cos 2x – \cos 3x = 1 \)

Bước 1: Biến đổi phương trình để nhóm các số hạng thích hợp

Ta sẽ chuyển vế và nhóm các số hạng để có thể áp dụng công thức một cách thuận lợi.

Phương trình tương đương với:

\( (\cos x – \cos 3x) + (\cos 2x – 1) = 0 \)

Bước 2: Áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi

Bây giờ, chúng ta sẽ xử lý từng nhóm trong ngoặc.

– Với nhóm thứ nhất \( (\cos x – \cos 3x) \), ta áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích (cụ thể là công thức hiệu hai cosin):

\[ \cos a – \cos b = -2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2} \]
Áp dụng vào bài, ta có:

\( \cos x – \cos 3x = -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} = -2\sin(2x)\sin(-x) \)

Vì \( \sin(-x) = -\sin x \), nên ta được:

\( \cos x – \cos 3x = -2\sin(2x)(-\sin x) = 2\sin(2x)\sin x \)

– Với nhóm thứ hai \( (\cos 2x – 1) \), ta áp dụng công thức góc nhân đôi:

\[ \cos 2x = 1 – 2\sin^2 x \]
Từ đó suy ra:

\( \cos 2x – 1 = -2\sin^2 x \)

Bước 3: Thay các biến đổi vào phương trình và đưa về dạng tích

Thay các kết quả ở Bước 2 vào phương trình đã nhóm, ta được:

\( 2\sin(2x)\sin x – 2\sin^2 x = 0 \)

Ta lại tiếp tục sử dụng công thức góc nhân đôi cho \( \sin(2x) \):

\[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \]
Phương trình trở thành:

\( 2(2\sin x \cos x)\sin x – 2\sin^2 x = 0 \)

\( 4\sin^2 x \cos x – 2\sin^2 x = 0 \)

Bây giờ, ta thấy có nhân tử chung là \( 2\sin^2 x \). Ta đặt nhân tử chung:

\( 2\sin^2 x (2\cos x – 1) = 0 \)

Bước 4: Giải phương trình tích

Đây là phương trình dạng tích \( A \cdot B = 0 \), tương đương với \( A=0 \) hoặc \( B=0 \). Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \( \sin^2 x = 0 \)

\( \iff \sin x = 0 \)

Đây là phương trình lượng giác cơ bản. Nghiệm của phương trình này là:

\[ x = k\pi, \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Trường hợp 2: \( 2\cos x – 1 = 0 \)

\( \iff \cos x = \frac{1}{2} \)

Đây cũng là một phương trình lượng giác cơ bản. Ta biết \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \). Do đó, nghiệm của phương trình là:

\[ x = \pm\frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Bước 5: Kết luận nghiệm của phương trình

Tổng hợp nghiệm từ hai trường hợp trên, phương trình đã cho có các họ nghiệm là:

\[ x = k\pi \]
\[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \]
\[ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \]
với \( k \) là số nguyên bất kỳ (\( k \in \mathbb{Z} \)).

Hy vọng cách giải chi tiết này giúp em hiểu rõ bài toán. Chúc em học tốt nhé