Chào các em! Hôm nay, cô sẽ cùng các em giải một bài tập khá hay về phương trình lượng giác. Bài tập này liên quan đến việc sử dụng các công thức cộng và công thức biến đổi tổng thành tích. Các em chú ý theo dõi từng bước nhé.

Đề bài của chúng ta là giải phương trình:

cos x + cos 3x + cos 5x = 0

Bước 1: Nhóm các số hạng để sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích.

Chúng ta thấy rằng các góc x, 3x, 5x có mối quan hệ khá đều đặn. Để dễ dàng áp dụng công thức, cô sẽ nhóm hai số hạng cos x và cos 5x lại với nhau. Lý do là vì tổng của hai góc này là x + 5x = 6x, và trung bình cộng là 3x, trùng với góc của số hạng còn lại.

(cos x + cos 5x) + cos 3x = 0

Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho nhóm (cos x + cos 5x).

Các em còn nhớ công thức biến đổi tổng thành tích cho cos không? Đó là:
\( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \)

Áp dụng công thức này với A = 5x và B = x (hoặc ngược lại, kết quả không đổi), ta có:

\( \cos 5x + \cos x = 2 \cos \frac{5x+x}{2} \cos \frac{5x-x}{2} \)
\( = 2 \cos \frac{6x}{2} \cos \frac{4x}{2} \)
\( = 2 \cos 3x \cos 2x \)

Vậy, phương trình của chúng ta trở thành:

2 cos 3x cos 2x + cos 3x = 0

Bước 3: Đặt nhân tử chung.

Quan sát phương trình mới, ta thấy cả hai số hạng đều có nhân tử chung là cos 3x. Chúng ta sẽ đặt nhân tử chung này ra ngoài:

cos 3x (2 cos 2x + 1) = 0

Bước 4: Giải phương trình tích.

Khi một tích bằng 0, thì ít nhất một trong các thừa số phải bằng 0. Do đó, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: cos 3x = 0

Đây là một trường hợp cơ bản của phương trình lượng giác. Chúng ta biết rằng cos góc bằng 0 khi góc đó bằng \( \frac{\pi}{2} + k\pi \), với k là số nguyên.

Vậy:
\( 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)

Để tìm x, ta chia cả hai vế cho 3:
\( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))

Trường hợp 2: 2 cos 2x + 1 = 0

Ta chuyển 1 sang vế phải và chia cho 2:
\( 2 \cos 2x = -1 \)
\( \cos 2x = -\frac{1}{2} \)

Để giải phương trình này, chúng ta cần nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. Góc mà cos bằng \( -\frac{1}{2} \) là \( \frac{2\pi}{3} \) và \( \frac{4\pi}{3} \) (hoặc \( -\frac{2\pi}{3} \)).

Do đó, ta có hai khả năng cho 2x:

Khả năng 2a:
\( 2x = \frac{2\pi}{3} + n\pi \) (Ở đây ta dùng n để phân biệt với k ở trường hợp trước, n là số nguyên)

Chia cả hai vế cho 2 để tìm x:
\( x = \frac{2\pi}{6} + \frac{n\pi}{2} \)
\( x = \frac{\pi}{3} + \frac{n\pi}{2} \) (với \( n \in \mathbb{Z} \))

Khả năng 2b:
Thông thường, khi giải \( \cos u = \cos \alpha \), ta có \( u = \pm \alpha + m\pi \). Tuy nhiên, khi biểu diễn \( \cos 2x = -\frac{1}{2} \), chúng ta có thể coi \( -\frac{1}{2} \) là \( \cos(\pi – \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) \) hoặc \( \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) \).

Cách tổng quát hơn và thường được dùng khi giải \( \cos u = a \) là:
Nếu \( \cos u = \cos \alpha \), thì \( u = \pm \alpha + m\pi \).

Ta có \( \cos 2x = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2\pi}{3} \).
Vậy, \( 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + m\pi \), với \( m \in \mathbb{Z} \).

Chia cả hai vế cho 2:
\( x = \pm \frac{2\pi}{6} + \frac{m\pi}{2} \)
\( x = \pm \frac{\pi}{3} + \frac{m\pi}{2} \) (với \( m \in \mathbb{Z} \))

Khi viết \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \frac{m\pi}{2} \), điều này bao gồm cả hai trường hợp ta đã phân tích ở trên:
– Nếu lấy dấu cộng: \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{m\pi}{2} \), tương ứng với khả năng 2a (chỉ là tên biến số khác).
– Nếu lấy dấu trừ: \( x = -\frac{\pi}{3} + \frac{m\pi}{2} \). Chúng ta có thể kiểm tra xem nghiệm này có trùng với nghiệm nào đã có không.
Nếu \( m=1 \), \( x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{-2\pi + 3\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \). Nghiệm này có trong trường hợp 1.
Nếu \( m=2 \), \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \). Nghiệm này có trong trường hợp 2a khi \( n=1 \).

Để cho gọn, chúng ta có thể biểu diễn tập nghiệm của trường hợp 2 là:
\( x = \frac{\pi}{3} + \frac{n\pi}{2} \) và \( x = -\frac{\pi}{3} + \frac{n\pi}{2} \) (với \( n \in \mathbb{Z} \)).

Tuy nhiên, cách biểu diễn \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \frac{m\pi}{2} \) là đầy đủ và ngắn gọn nhất.

Bước 5: Tổng hợp nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình là hợp của các nghiệm từ Trường hợp 1 và Trường hợp 2.

Nghiệm từ Trường hợp 1: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))
Nghiệm từ Trường hợp 2: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \frac{m\pi}{2} \) (với \( m \in \mathbb{Z} \))

Chúng ta có thể kiểm tra xem các tập nghiệm này có bị trùng lặp hay có thể gộp lại được không. Nhưng trong trường hợp này, việc gộp lại có thể làm phức tạp thêm. Do đó, chúng ta sẽ để hai tập nghiệm này.

Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là:
\( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \) hoặc \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{m\pi}{2} \) hoặc \( x = -\frac{\pi}{3} + \frac{m\pi}{2} \) , với \( k, m \in \mathbb{Z} \).

Hoặc viết gọn hơn cho nghiệm của trường hợp 2:
\( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \) hoặc \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \frac{m\pi}{2} \) , với \( k, m \in \mathbb{Z} \).

Các em thấy đó, bài toán này tuy có vẻ phức tạp ban đầu nhưng khi ta biết cách nhóm các số hạng và áp dụng đúng công thức, việc giải trở nên rất đơn giản. Các em hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự nhé.