Chào các em học sinh lớp 6 yêu quý! Hôm nay, cô và các em sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị liên quan đến dãy phân số. Các em hãy mở sách giáo khoa Toán lớp 6, tập 2 trang 82, bài tập 128 để chúng ta cùng theo dõi nhé.

Đề bài cho chúng ta một dãy tính:
D = 1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + … + 1/97.99

Các em nhìn vào các phân số trong dãy này có gì đặc biệt không nào? Cô thấy rằng, mỗi phân số có mẫu số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, và số thứ hai của phân số này lại là số thứ nhất của phân số tiếp theo. Ví dụ: 3.5, 5.7, 7.9…

Để giải bài toán này một cách hiệu quả, cô sẽ hướng dẫn các em một phương pháp rất hay, đó là phương pháp “tách phân số”. Các em còn nhớ kiến thức về phân số không? Chúng ta có thể biến đổi một phân số phức tạp thành tổng hoặc hiệu của hai phân số đơn giản hơn.

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét một phân số bất kỳ trong dãy này, ví dụ phân số 1/3.5.
Liệu chúng ta có thể tách 1/3.5 thành hiệu của hai phân số nào đó không?
Cô gợi ý nhé, chúng ta hãy thử nghĩ đến hiệu của hai phân số có mẫu số là 3 và 5.
Ví dụ: 1/3 – 1/5 = (5 – 3) / (3.5) = 2/3.5.
Ồ, số 2 này hơi “lạc lõng” nhỉ? Chúng ta cần mẫu số là 1/3.5. Vậy nếu chúng ta nhân cả hai vế với 1/2 thì sao?
(1/2) (1/3 – 1/5) = (1/2) (2/3.5) = 1/3.5.
Tuyệt vời! Vậy là chúng ta đã tách được phân số 1/3.5 rồi.
Cụ thể, ta có công thức:
\[ \frac{1}{a(a+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} – \frac{1}{a+2} \right) \]
Áp dụng công thức này với a=3, ta có:
\[ \frac{1}{3.5} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) \]

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt áp dụng công thức này cho từng phân số trong dãy D.

Phân số thứ nhất:
1/3.5 = 1/2 * (1/3 – 1/5)

Phân số thứ hai:
1/5.7 = 1/2 * (1/5 – 1/7)

Phân số thứ ba:
1/7.9 = 1/2 * (1/7 – 1/9)

…

Và phân số cuối cùng:
Chúng ta cần tìm giá trị ‘a’ sao cho a(a+2) = 97.99. Dễ dàng nhận thấy a = 97.
Vậy, phân số cuối cùng là:
1/97.99 = 1/2 * (1/97 – 1/99)

Bây giờ, chúng ta thay thế các phân số trong D bằng các biểu thức đã tách:
D = [1/2 (1/3 – 1/5)] + [1/2 (1/5 – 1/7)] + [1/2 (1/7 – 1/9)] + … + [1/2 (1/97 – 1/99)]

Các em để ý, có một thừa số chung là 1/2. Chúng ta có thể đặt 1/2 ra ngoài dấu ngoặc:
D = 1/2 * [(1/3 – 1/5) + (1/5 – 1/7) + (1/7 – 1/9) + … + (1/97 – 1/99)]

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép cộng các phân số bên trong dấu ngoặc. Các em nhìn xem, có những số hạng nào sẽ bị triệt tiêu không?
-1/5 sẽ triệt tiêu với +1/5
-1/7 sẽ triệt tiêu với +1/7
-1/9 sẽ triệt tiêu với +1/9 (nếu phân số tiếp theo là 1/9.11)
…
Và cứ như vậy, chúng ta thấy rằng tất cả các phân số ở giữa sẽ bị triệt tiêu hết. Chỉ còn lại phân số đầu tiên và phân số cuối cùng.
Chúng ta còn lại: 1/3 và -1/99.

Vậy, biểu thức trong dấu ngoặc trở thành:
(1/3 – 1/99)

Bây giờ, chúng ta chỉ còn phép tính đơn giản là trừ hai phân số này. Để trừ được, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 3 và 99 là 99.
1/3 = (1 33) / (3 33) = 33/99

Vậy, phép trừ trở thành:
33/99 – 1/99 = (33 – 1) / 99 = 32/99

Cuối cùng, chúng ta quay trở lại với biểu thức của D:
D = 1/2 * (32/99)

Để tính kết quả cuối cùng, chúng ta nhân hai phân số:
D = (1 32) / (2 99) = 32 / 198

Phân số 32/198 này chưa phải là phân số tối giản. Chúng ta cần rút gọn. Cả tử số và mẫu số đều chia hết cho 2.
32 : 2 = 16
198 : 2 = 99

Vậy, phân số tối giản là 16/99.

Kết luận:
D = 16/99

Các em thấy phương pháp “tách phân số” có hiệu quả không nào? Nó giúp chúng ta biến một bài toán cộng nhiều phân số phức tạp thành một phép trừ hai phân số đơn giản. Các em hãy ôn lại các bước làm và tự mình thử sức với các bài tập tương tự nhé. Chúc các em học tốt!