deg(R(x)) < deg (Q(x)). deg là gì vậy ạ ?

Chào em!

Cô rất vui khi em đã đặt câu hỏi này. Đây là một khái niệm rất quan trọng trong Toán học lớp 8, đặc biệt khi chúng ta học về đa thức và phép chia đa thức.

Hãy cùng cô giải mã cụm từ $\mathrm{deg}\left(R,\left(x\right)\right)<\mathrm{deg}\left(Q,\left(x\right)\right)$ một cách chi tiết nhé!

Bước 1: Giải thích ý nghĩa của từ “deg”

Trong Toán học, đặc biệt khi nói về đa thức, $\mathrm{deg}$ là viết tắt của từ tiếng Anh “degree”, có nghĩa là bậc của đa thức.

Tại sao lại gọi là “bậc”? Bởi vì nó dùng để chỉ số mũ cao nhất của biến trong đa thức đó (sau khi đã thu gọn). Bậc của đa thức giúp chúng ta phân loại và hiểu rõ hơn về “độ phức tạp” của đa thức.

Bước 2: Giải thích “Bậc của đa thức” ($\mathrm{deg}\left(P,\left(x\right)\right)$)

Bậc của một đa thức một biến là số mũ cao nhất của biến có trong đa thức đó (sau khi đã thu gọn).

Ví dụ:

• Đa thức $P\left(x\right)=5x^3–2x^2+7x–1$ có bậc là $3$, vì số mũ cao nhất của $x$ là $3$. Ta viết $\mathrm{deg}\left(P,\left(x\right)\right)=3$.
• Đa thức $Q\left(x\right)=x^5–8x^5+2x–9$. Trước tiên, ta phải thu gọn: $Q\left(x\right)=–7x^5+2x–9$. Bậc của đa thức này là $5$. Ta viết $\mathrm{deg}\left(Q,\left(x\right)\right)=5$.
• Một hằng số (ví dụ $7$) cũng là một đa thức. Ta có thể viết $7=7x^0$. Vì vậy, bậc của một hằng số khác $0$ là $0$. Ví dụ: $\mathrm{deg}\left(7\right)=0$.

Bước 3: Giải thích $R\left(x\right)$ và $Q\left(x\right)$

Trong ngữ cảnh phép chia đa thức mà em học ở lớp 8, khi ta chia một đa thức $A\left(x\right)$ cho một đa thức $B\left(x\right)$ (với $B\left(x\right)$ khác đa thức $0$), ta thường viết kết quả dưới dạng:

$$A\left(x\right)=B\left(x\right)\cdot S\left(x\right)+R\left(x\right)$$
Trong đó:

• $A\left(x\right)$ là đa thức bị chia.
• $B\left(x\right)$ là đa thức chia.
• $S\left(x\right)$ là đa thức thương.
• $R\left(x\right)$ là đa thức dư (remainder).

Như vậy, trong câu hỏi của em, $R\left(x\right)$ là đa thức dư và $Q\left(x\right)$ là đa thức chia (hoặc đôi khi $Q\left(x\right)$ có thể là một đa thức bất kỳ, nhưng trong ngữ cảnh của điều kiện này, nó thường là đa thức chia).

Bước 4: Giải thích điều kiện $\mathrm{deg}\left(R,\left(x\right)\right)<\mathrm{deg}\left(Q,\left(x\right)\right)$

Điều kiện $\mathrm{deg}\left(R,\left(x\right)\right)<\mathrm{deg}\left(Q,\left(x\right)\right)$ có nghĩa là bậc của đa thức dư phải nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Lý do tại sao lại có điều kiện này:

Điều kiện này là quy tắc cốt lõi để xác định rằng phép chia đa thức đã kết thúc.

• Nếu bậc của đa thức dư $R\left(x\right)$ vẫn lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia $Q\left(x\right)$, điều đó có nghĩa là chúng ta vẫn có thể tiếp tục chia. Tức là, phép chia chưa hoàn thành.
• Chỉ khi bậc của đa thức dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia, chúng ta mới coi phép chia là “hoàn tất” và $R\left(x\right)$ mới thực sự là “phần dư cuối cùng”.
• Trong trường hợp $R\left(x\right)=0$ (đa thức dư bằng $0$), thì bậc của đa thức $0$ thường được quy ước là không xác định hoặc là $–\infty$, và điều kiện này vẫn được thỏa mãn vì $0$ không thể chia được nữa. Khi $R\left(x\right)=0$, ta nói $A\left(x\right)$ chia hết cho $B\left(x\right)$.

Tóm tắt:

Cụm từ $\mathrm{deg}\left(R,\left(x\right)\right)<\mathrm{deg}\left(Q,\left(x\right)\right)$ có nghĩa là bậc của đa thức dư $R\left(x\right)$ phải nhỏ hơn bậc của đa thức chia $Q\left(x\right)$. Đây là điều kiện quan trọng để xác định rằng một phép chia đa thức đã hoàn tất.

Hy vọng phần giải thích này giúp em hiểu rõ hơn về khái niệm này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào khác, đừng ngần ngại hỏi cô!