Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về một số khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, đó là các đường đặc biệt trong tam giác. Các em hãy cùng chú ý lắng nghe và ghi chép bài đầy đủ nhé.

I. Đường trung trực của một đoạn thẳng

1. Định nghĩa đường trung trực:

Trước hết, chúng ta cần hiểu đường trung trực là gì. Các em mở sách giáo khoa trang 75 ra nhé.

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

Để dễ hiểu hơn, chúng ta hãy tưởng tượng chúng ta có một đoạn thẳng AB.
– Đầu tiên, ta tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB. Tức là, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AB sao cho AM = MB.
– Sau đó, ta vẽ một đường thẳng d đi qua điểm M và đường thẳng d này phải vuông góc với đoạn thẳng AB.
Khi đó, đường thẳng d chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Chúng ta có thể hình dung như sau: Giống như việc chúng ta muốn chia đôi một sợi dây (đoạn thẳng) và đặt một cái thước vuông góc ngay tại điểm chia đôi đó.

2. Tính chất của đường trung trực:

Đường trung trực của một đoạn thẳng có một tính chất rất quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ.

Định lý: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Phát biểu lại: Nếu một điểm P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, thì khoảng cách từ điểm P đến điểm A sẽ bằng khoảng cách từ điểm P đến điểm B. Nói cách khác, PA = PB.

Ngược lại: Nếu một điểm P cách đều hai đầu mút A và B của đoạn thẳng AB (tức là PA = PB), thì điểm P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Đây là một định lý hai chiều, nghĩa là nó đúng theo cả hai hướng.

II. Đường trung tuyến của một tam giác

Bây giờ, chúng ta chuyển sang các đường đặc biệt trong tam giác.

1. Định nghĩa đường trung tuyến:

Các em mở sách giáo khoa trang 149 ra nhé.

Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.

Trong một tam giác, có ba đỉnh và ba cạnh đối diện tương ứng. Do đó, một tam giác sẽ có ba đường trung tuyến.
– Xét tam giác ABC.
– Lấy đỉnh A, ta tìm trung điểm M của cạnh BC. Đoạn thẳng AM là một đường trung tuyến của tam giác ABC.
– Lấy đỉnh B, ta tìm trung điểm N của cạnh AC. Đoạn thẳng BN là một đường trung tuyến của tam giác ABC.
– Lấy đỉnh C, ta tìm trung điểm P của cạnh AB. Đoạn thẳng CP là một đường trung tuyến của tam giác ABC.

2. Tính chất của đường trung tuyến:

Ba đường trung tuyến của một tam giác có một tính chất rất thú vị.

Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác.

Gọi G là giao điểm của ba đường trung tuyến AM, BN, CP. Khi đó, G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có các tính chất sau về trọng tâm G:
– GA = 2/3 AM
– GM = 1/3 AM
Hay nói cách khác, GA = 2 * GM.

Tương tự với hai đường trung tuyến còn lại:
– GB = 2/3 BN và GN = 1/3 BN (hay GB = 2 * GN)
– GC = 2/3 CP và GP = 1/3 CP (hay GC = 2 * GP)

Các em lưu ý, tính chất này chỉ áp dụng cho giao điểm của ba đường trung tuyến, tức là trọng tâm của tam giác.

III. Đường phân giác của một tam giác

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu về đường phân giác.

1. Định nghĩa đường phân giác:

Các em mở sách giáo khoa trang 149 ra nhé.

Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với một điểm trên cạnh đối diện sao cho đoạn thẳng đó chia góc ở đỉnh thành hai góc bằng nhau.

Tương tự như đường trung tuyến, một tam giác cũng có ba đường phân giác, xuất phát từ ba đỉnh.
– Xét tam giác ABC.
– Từ đỉnh A, ta kẻ một tia AI sao cho tia AI nằm giữa hai tia AB và AC, và góc BAI bằng góc CAI. Khi đó, đoạn thẳng AI (hoặc phần của tia AI nằm trong tam giác) là đường phân giác của góc A, hay đường phân giác xuất phát từ đỉnh A.
– Tương tự, ta có đường phân giác xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C.

2. Tính chất của đường phân giác:

Đường phân giác của một tam giác có một tính chất liên quan đến các cạnh của tam giác.

Định lý: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

Xét tam giác ABC, và AI là đường phân giác của góc A (I thuộc BC). Khi đó, ta có tỉ lệ sau:

\[ \frac{IB}{IC} = \frac{AB}{AC} \]

Điều này có nghĩa là tỉ lệ độ dài của hai đoạn thẳng IB và IC mà đường phân giác chia ra trên cạnh BC sẽ bằng tỉ lệ độ dài của hai cạnh AB và AC kề với góc A.

IV. Đường cao của một tam giác

Cuối cùng, chúng ta sẽ tìm hiểu về đường cao của tam giác.

1. Định nghĩa đường cao:

Các em mở sách giáo khoa trang 149 ra nhé.

Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác và vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Tương tự, một tam giác cũng có ba đường cao.
– Xét tam giác ABC.
– Từ đỉnh A, ta hạ đường vuông góc xuống đường thẳng chứa cạnh BC. Gọi chân đường vuông góc đó là H. Khi đó, đoạn thẳng AH là đường cao của tam giác ABC ứng với cạnh BC.
– Tương tự, ta có đường cao kẻ từ đỉnh B vuông góc với đường thẳng chứa cạnh AC, và đường cao kẻ từ đỉnh C vuông góc với đường thẳng chứa cạnh AB.

Lưu ý là đường cao có thể nằm trong tam giác (tam giác nhọn), hoặc nằm ngoài tam giác (tam giác tù, với trường hợp góc tù, đường cao kẻ từ đỉnh góc nhọn sẽ nằm ngoài tam giác và chân đường vuông góc sẽ rơi vào phần kéo dài của cạnh đối diện).

2. Tính chất của đường cao:

Trong chương trình lớp 7, chúng ta chủ yếu làm quen với định nghĩa và cách vẽ đường cao. Tính chất đặc biệt liên quan đến giao điểm của ba đường cao (trực tâm) thường được tìm hiểu kỹ hơn ở các lớp trên.

Tuy nhiên, thầy/cô cũng xin giới thiệu sơ qua để các em có cái nhìn tổng quát: Ba đường cao của một tam giác (hoặc phần kéo dài của chúng) đồng quy tại một điểm, gọi là trực tâm của tam giác.

Các em thân mến, chúng ta vừa tìm hiểu xong bốn loại đường đặc biệt trong tam giác: đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao. Mỗi loại đường này đều có những định nghĩa và tính chất riêng rất quan trọng. Các em hãy ôn lại bài và làm các bài tập trong sách giáo khoa để nắm vững hơn kiến thức nhé.

Chúc các em học tốt!