Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy rất vui được cùng các em giải một bài tập về phương trình lượng giác cơ bản, một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán 11 của chúng ta. Bài toán này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về cách giải phương trình có dạng cos(ax) = b. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài toán: Giải phương trình lượng giác sau: \(1 + 2\text{cos}2x = 0\)

Thầy sẽ trình bày từng bước thật cẩn thận để các em dễ dàng theo dõi và nắm vững.

Bước 1: Đưa phương trình về dạng cơ bản \( \text{cos} u = a \)

Mục tiêu đầu tiên của chúng ta là cô lập biểu thức \( \text{cos}2x \).

Ta có phương trình ban đầu:
\[ 1 + 2\text{cos}2x = 0 \]

Chuyển số hạng tự do sang vế phải:
\[ 2\text{cos}2x = -1 \]

Chia cả hai vế cho 2:
\[ \text{cos}2x = -\frac{1}{2} \]

Bước 2: Tìm giá trị góc đặc biệt

Bây giờ, chúng ta cần tìm một góc \( \alpha \) sao cho \( \text{cos} \alpha = -\frac{1}{2} \).

Chúng ta biết rằng \( \text{cos}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \).
Vì \( \text{cos}2x = -\frac{1}{2} \), giá trị này âm, nên góc \( 2x \) phải nằm ở góc phần tư thứ II hoặc thứ III.
Góc ở góc phần tư thứ II có cosine là \( -\frac{1}{2} \) là \( \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).
Vậy, ta có thể viết phương trình dưới dạng:
\[ \text{cos}2x = \text{cos}\left(\frac{2\pi}{3}\right) \]

Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình \( \text{cos} u = \text{cos} \alpha \)

Đối với phương trình \( \text{cos} u = \text{cos} \alpha \), nghiệm tổng quát là:
\[ u = \alpha + k2\pi \]
hoặc
\[ u = -\alpha + k2\pi \]
với \( k \) là một số nguyên (\( k \in \mathbb{Z} \)).

Trong bài toán của chúng ta, \( u = 2x \) và \( \alpha = \frac{2\pi}{3} \).
Áp dụng công thức, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1:
\[ 2x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \]

Trường hợp 2:
\[ 2x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \]

Bước 4: Giải tìm ẩn số \( x \)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải \( x \) từ mỗi trường hợp bằng cách chia cả hai vế cho 2.

Đối với Trường hợp 1:
\[ 2x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \]
Chia cả hai vế cho 2:
\[ x = \frac{2\pi}{3 \cdot 2} + \frac{k2\pi}{2} \]
\[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \]

Đối với Trường hợp 2:
\[ 2x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \]
Chia cả hai vế cho 2:
\[ x = -\frac{2\pi}{3 \cdot 2} + \frac{k2\pi}{2} \]
\[ x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \]

Trong cả hai trường hợp, \( k \) là một số nguyên bất kỳ (\( k \in \mathbb{Z} \)).

Kết luận:

Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là:
\[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \]
hoặc
\[ x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \]
với \( k \in \mathbb{Z} \).

Các em có thể viết gọn lại hai họ nghiệm này bằng cách sử dụng dấu \( \pm \) như sau:
\[ x = \pm\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách giải phương trình lượng giác cơ bản có chứa hàm cosine. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập khác để nắm vững kiến thức nhé! Chúc các em học tốt!