Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11. Bài tập của chúng ta hôm nay là:

Giải phương trình: Sin2x. Cos2x + 1/4 = 0

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết, từng bước, bám sát kiến thức đã học trong Sách giáo khoa nhé.

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc.

Nhìn vào phương trình ban đầu, cô tin rằng các em đã nhận ra sự xuất hiện của tích Sin2x. Cos2x. Đây là một dấu hiệu quen thuộc gợi cho chúng ta nhớ đến công thức nhân đôi của sin. Các em còn nhớ công thức đó không nào?

Công thức nhân đôi của sin là: \( \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \)

Tuy nhiên, trong phương trình của chúng ta là Sin2x. Cos2x, chứ không phải Sin x. Cos x. Vậy, chúng ta cần khéo léo điều chỉnh một chút để áp dụng công thức này.

Nếu ta coi \( \alpha = 2x \), thì \( 2\alpha = 4x \). Công thức nhân đôi sẽ trở thành:

\( \sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) \)

Từ đây, chúng ta có thể rút ra:

\( \sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(4x) \)

Bây giờ, chúng ta thay biểu thức này vào phương trình ban đầu:

Phương trình ban đầu: \( \sin(2x)\cos(2x) + \frac{1}{4} = 0 \)

Thay thế: \( \frac{1}{2}\sin(4x) + \frac{1}{4} = 0 \)

Bước 2: Rút gọn và đưa về dạng phương trình sin cơ bản.

Sau khi biến đổi, phương trình của chúng ta trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Bây giờ, chúng ta sẽ tiếp tục biến đổi để cô lập biểu thức chứa sin:

\( \frac{1}{2}\sin(4x) = -\frac{1}{4} \)

Nhân cả hai vế với 2 để tìm giá trị của \( \sin(4x) \):

\( \sin(4x) = -\frac{1}{4} \times 2 \)
\( \sin(4x) = -\frac{1}{2} \)

Chúng ta đã đưa được phương trình về dạng cơ bản nhất: \( \sin(\text{góc}) = \text{hằng số} \).

Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị của \( 4x \) sao cho \( \sin(4x) = -\frac{1}{2} \).

Chúng ta cần nhớ lại các giá trị lượng giác đặc biệt của sin. Giá trị \( \sin\alpha = -\frac{1}{2} \) xảy ra khi nào?

Chúng ta biết rằng \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \). Vì hàm sin có tính đối xứng qua trục tung và có tính tuần hoàn, nên các góc mà sin bằng \( -\frac{1}{2} \) là:

* Góc nằm ở góc phần tư thứ ba: \( \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \)
* Góc nằm ở góc phần tư thứ tư: \( 2\pi – \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \) hoặc \( -\frac{\pi}{6} \)

Do tính tuần hoàn của hàm sin với chu kỳ \( 2\pi \), chúng ta có thể biểu diễn tập nghiệm tổng quát như sau:

\( 4x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \) (với \( k \) là số nguyên bất kỳ)

HOẶC

\( 4x = \frac{11\pi}{6} + k2\pi \) (với \( k \) là số nguyên bất kỳ)

Hoặc, chúng ta có thể viết gọn hơn sử dụng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình \( \sin X = \sin \alpha \):

Nếu \( \sin X = a \), với \( -1 \le a \le 1 \), thì:
* \( X = \arcsin(a) + k2\pi \)
* \( X = \pi – \arcsin(a) + k2\pi \)

Trong trường hợp này, \( a = -\frac{1}{2} \). Ta có thể chọn một giá trị \( \alpha \) sao cho \( \sin(\alpha) = -\frac{1}{2} \). Giá trị thông dụng nhất là \( \alpha = -\frac{\pi}{6} \).

Vậy, ta có:

\( 4x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \) (với \( k \) là số nguyên bất kỳ)

HOẶC

\( 4x = \pi – (-\frac{\pi}{6}) + k2\pi \)
\( 4x = \pi + \frac{\pi}{6} + k2\pi \)
\( 4x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \) (với \( k \) là số nguyên bất kỳ)

Lưu ý rằng trường hợp \( 4x = \frac{11\pi}{6} + k2\pi \) cũng sẽ được bao gồm trong hai trường hợp trên khi \( k \) nhận các giá trị nguyên phù hợp. Ví dụ, \( \frac{11\pi}{6} \) có thể biểu diễn bằng \( -\frac{\pi}{6} + 2\pi \).

Bước 4: Tìm nghiệm cho x.

Cuối cùng, chúng ta cần chia cả hai vế của mỗi trường hợp cho 4 để tìm giá trị của \( x \).

Trường hợp 1:
\( 4x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \)
Chia cả hai vế cho 4:
\( x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k2\pi}{4} \)
\( x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))

Trường hợp 2:
\( 4x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \)
Chia cả hai vế cho 4:
\( x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k2\pi}{4} \)
\( x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))

Kết luận:

Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là:

\( x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))
VÀ
\( x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))

Các em thấy đó, bằng cách áp dụng linh hoạt các công thức lượng giác quen thuộc và thực hiện các phép biến đổi cẩn thận, chúng ta đã giải quyết được bài toán này. Hãy ôn tập thật kỹ các công thức và cách giải để tự tin hơn trong các bài tập tiếp theo nhé! Cô chúc các em học tốt!