Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập lượng giác khá thú vị trong chương trình Toán lớp 11. Bài toán yêu cầu chúng ta giải phương trình:

cos3x + cos2x = 0

Các em chú ý lắng nghe và ghi chép lại từng bước nhé.

Bước 1: Sử dụng công thức cộng và trừ trong lượng giác

Quan sát phương trình, chúng ta thấy có dạng tổng của hai hàm cos. Nhớ lại các công thức đã học, ta có công thức biến đổi tổng thành tích:

cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)

Áp dụng công thức này vào phương trình của chúng ta, với A = 3x và B = 2x.

Ta có:
cos3x + cos2x = 2 cos((3x+2x)/2) cos((3x-2x)/2) = 0

Rút gọn biểu thức bên trong cos:
2 cos(5x/2) cos(x/2) = 0

Bước 2: Giải phương trình tích

Bây giờ, phương trình của chúng ta đã trở về dạng tích của hai thừa số bằng 0. Điều này có nghĩa là ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0.

Do đó, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: cos(5x/2) = 0

Trường hợp 2: cos(x/2) = 0

Bước 3: Giải từng trường hợp

Bây giờ chúng ta sẽ giải từng trường hợp một.

Trường hợp 1: cos(5x/2) = 0

Ta nhớ lại rằng cos(alpha) = 0 khi alpha bằng pi/2 cộng với bội số nguyên của pi. Tức là:
alpha = pi/2 + k*pi, với k là số nguyên tùy ý (k ∈ Z).

Áp dụng vào trường hợp này, ta có:
5x/2 = pi/2 + k*pi, với k ∈ Z

Để tìm x, chúng ta nhân cả hai vế với 2/5:
x = (2/5) * (pi/2 + k*pi)
x = pi/5 + (2k*pi)/5, với k ∈ Z

Đây là tập nghiệm của trường hợp thứ nhất.

Trường hợp 2: cos(x/2) = 0

Tương tự như trường hợp 1, ta có:
x/2 = pi/2 + n*pi, với n là số nguyên tùy ý (n ∈ Z).

Để tìm x, chúng ta nhân cả hai vế với 2:
x = 2 * (pi/2 + n*pi)
x = pi + 2n*pi, với n ∈ Z

Đây là tập nghiệm của trường hợp thứ hai.

Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình

Tập nghiệm của phương trình ban đầu là hợp của tập nghiệm từ hai trường hợp trên.

Vậy, phương trình cos3x + cos2x = 0 có tập nghiệm là:

x = pi/5 + (2k*pi)/5, với k ∈ Z
HOẶC
x = pi + 2n*pi, với n ∈ Z

Các em đã hiểu rõ từng bước giải chưa nào? Nếu có thắc mắc, đừng ngại hỏi nhé. Chúc các em học tốt!