Giải gấp với ạ!!! 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1

Chào em, đây là một bài toán phương trình lượng giác khá thú vị và quen thuộc trong chương trình Toán 11. Chúng ta sẽ cùng nhau giải bài này một cách chi tiết nhé!

Để giải phương trình này, mục tiêu của chúng ta là đưa các hàm lượng giác về cùng một góc (ví dụ như góc $x$ hoặc $2x$) hoặc về dạng tích để dễ dàng tìm nghiệm.

Phương trình đã cho là:

$$4\cos x–2\cos 2x–\cos 4x=1$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi $\cos 4x$ theo $\cos 2x$.

Chúng ta nhận thấy có các góc $x$, $2x$ và $4x$. Để đồng nhất các góc, ta sẽ biến đổi $\cos 4x$ về $\cos 2x$ bằng công thức hạ bậc hoặc công thức góc nhân đôi. Cụ thể, ta sử dụng công thức nhân đôi $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha –1$. Áp dụng với $\alpha =2x$, ta có:

$$\cos 4x=\cos (2·2x)=2{\cos }^{2}2x–1$$

Thay biểu thức này vào phương trình ban đầu:

$$4\cos x–2\cos 2x–(2{\cos }^{2}2x–1)=1$$

Bước 2: Rút gọn phương trình.

Khai triển và chuyển các số hạng:

$$4\cos x–2\cos 2x–2{\cos }^{2}2x+1=1$$

Chuyển số 1 ở vế phải sang vế trái và rút gọn:

$$4\cos x–2\cos 2x–2{\cos }^{2}2x=0$$

Bước 3: Phân tích nhân tử bằng công thức lượng giác.

Ta để ý hai số hạng cuối $–2\cos 2x–2{\cos }^{2}2x$ có thể nhóm lại và đặt nhân tử chung $–2\cos 2x$:

$$4\cos x–2\cos 2x(1+\cos 2x)=0$$

Bây giờ, chúng ta thấy xuất hiện biểu thức $1+\cos 2x$. Đây là một công thức lượng giác cơ bản: $1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$. Áp dụng với $\alpha =x$, ta có:

$$1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$$

Thay vào phương trình:

$$4\cos x–2\cos 2x\left(2{\cos }^{2}x\right)=0$$

$$4\cos x–4{\cos }^{2}x\cos 2x=0$$

Bước 4: Đặt nhân tử chung và chia trường hợp.

Phương trình đã ở dạng đơn giản hơn, ta thấy có nhân tử chung $4\cos x$. Đặt nhân tử chung:

Một tích bằng 0 khi ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Vậy ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: $4\cos x=0$

$$\cos x=0$$

Đây là phương trình lượng giác cơ bản. Các giá trị của $x$ mà $\cos x=0$ là:

$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Trường hợp 2: $1–\cos x\cos 2x=0$

Điều này tương đương với:

$$\cos x\cos 2x=1$$

Ta biết rằng giá trị của hàm $\cos$ luôn nằm trong đoạn $[–1;1]$. Do đó, tích của hai số hạng $\cos x$ và $\cos 2x$ chỉ có thể bằng 1 khi và chỉ khi cả hai số hạng đó cùng bằng 1 hoặc cùng bằng -1.

Trường hợp 2a: $\cos x=1$ và $\cos 2x=1$

Nếu $\cos x=1$, thì $x=m2\pi$ (với $m\in \mathbb{Z}$).
Kiểm tra điều kiện thứ hai: $\cos 2x=\cos \left(2m2\pi \right)=\cos \left(4m\pi \right)$. Vì $\cos \left(n2\pi \right)=1$ với mọi số nguyên $n$, nên $\cos \left(4m\pi \right)=1$.
Điều này thỏa mãn cả hai điều kiện. Vậy các nghiệm trong trường hợp này là:

$$x=m2\pi ,m\in \mathbb{Z}$$

Trường hợp 2b: $\cos x=–1$ và $\cos 2x=–1$

Nếu $\cos x=–1$, thì $x=\pi +n2\pi$ (với $n\in \mathbb{Z}$).
Bây giờ ta kiểm tra giá trị của $\cos 2x$ tương ứng. Sử dụng công thức $\cos 2x=2{\cos }^{2}x–1$ (hoặc thay trực tiếp $x$ vào):

$$\cos 2x=2{(–1)}^2–1=2\left(1\right)–1=1$$

Giá trị $\cos 2x=1$ này không thỏa mãn điều kiện $\cos 2x=–1$. Do đó, trường hợp này không có nghiệm.

Bước 5: Tổng hợp nghiệm.

Vậy, các nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm từ Trường hợp 1 và Trường hợp 2a.

Các nghiệm là:

$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

và

$$x=m2\pi ,m\in \mathbb{Z}$$

Hai tập nghiệm này không trùng nhau và là lời giải cuối cùng cho bài toán.