Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một dạng bài tập phương trình lượng giác quen thuộc. Các em mở sách giáo khoa trang 42, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải bài toán sau:

Bài toán: Giải phương trình: sinx – 2cosx = 1

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đưa về dạng phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Cụ thể, chúng ta sẽ đưa phương trình về dạng \(asinx + bcosx = c\).

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Trong phương trình đã cho, ta có:
a = 1 (hệ số của sinx)
b = -2 (hệ số của cosx)
c = 1 (vế phải của phương trình)

Bước 2: Kiểm tra điều kiện có nghiệm.
Phương trình dạng \(asinx + bcosx = c\) có nghiệm khi và chỉ khi \(a^2 + b^2 \ge c^2\).
Ta tính \(a^2 + b^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5\).
Ta có \(c^2 = 1^2 = 1\).
Vì \(5 \ge 1\), nên phương trình có nghiệm.

Bước 3: Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{a^2 + b^2}\).
Ta có \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5}\).
Chia cả hai vế của phương trình sinx – 2cosx = 1 cho \(\sqrt{5}\), ta được:

\[ \frac{1}{\sqrt{5}} sinx – \frac{2}{\sqrt{5}} cosx = \frac{1}{\sqrt{5}} \]

Bước 4: Đặt \(\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) và \(\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) (hoặc ngược lại).
Ở đây, ta có \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\frac{2}{\sqrt{5}}\). Chúng ta có thể đặt:
\(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\sin\alpha = \frac{-2}{\sqrt{5}}\).
Khi đó, phương trình trở thành:
\(\cos\alpha sinx + \sin\alpha cosx = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

Sử dụng công thức cộng cung lượng giác: \(sinx \cos\alpha + cosx \sin\alpha = sin(x + \alpha)\).
Vậy, phương trình trở thành:
\[ sin(x + \alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}} \]
Trong đó, \(\alpha\) là một góc sao cho \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\sin\alpha = \frac{-2}{\sqrt{5}}\). Ta có thể tìm giá trị của \(\alpha\) bằng cách sử dụng hàm arccos hoặc arcsin. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, chúng ta chỉ cần giữ nguyên biểu thức \(\alpha\) mà không cần tính giá trị cụ thể của nó.

Bước 5: Giải phương trình lượng giác cơ bản \(sinX = m\).
Ta có \(sin(x + \alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}\).
Đặt \(X = x + \alpha\). Ta cần tìm một góc \(\beta\) sao cho \(sin\beta = \frac{1}{\sqrt{5}}\).
Ta có thể tìm được góc \(\beta\) này bằng cách sử dụng hàm arcsin: \(\beta = arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})\).

Phương trình \(sinX = sin\beta\) có hai trường hợp nghiệm:
Trường hợp 1: \(X = \beta + k2\pi\), với \(k \in Z\).
Trường hợp 2: \(X = \pi – \beta + k2\pi\), với \(k \in Z\).

Thay \(X = x + \alpha\) và \(\beta = arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})\), ta có:
Trường hợp 1: \(x + \alpha = arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) + k2\pi\)
=> \(x = arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) – \alpha + k2\pi\), với \(k \in Z\).

Trường hợp 2: \(x + \alpha = \pi – arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) + k2\pi\)
=> \(x = \pi – arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) – \alpha + k2\pi\), với \(k \in Z\).

Bước 6: Thay giá trị của \(\alpha\) (nếu cần).
Trong bài toán này, ta có thể để nguyên \(\alpha\) vì giá trị của nó không được yêu cầu tính cụ thể. Tuy nhiên, nếu ta đã đặt \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\sin\alpha = \frac{-2}{\sqrt{5}}\), thì ta cũng có thể viết nghiệm theo cách khác.

Ta có thể sử dụng công thức sau: Nếu ta đặt \(\cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) và \(\sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\), thì phương trình \(asinx + bcosx = c\) có thể viết lại thành:
\(\sqrt{a^2+b^2} (sinx \cos\phi + cosx \sin\phi) = c\)
\(\sqrt{a^2+b^2} sin(x+\phi) = c\)
\(sin(x+\phi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Trong bài toán của chúng ta:
\(a=1, b=-2, c=1\). \(\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5}\).
Ta có thể đặt \(\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\sin\phi = \frac{-2}{\sqrt{5}}\).
Khi đó, phương trình trở thành:
\(\sqrt{5} sin(x+\phi) = 1\)
\(sin(x+\phi) = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

Đặt \(\beta = arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})\).
Ta có \(x + \phi = \beta + k2\pi\) hoặc \(x + \phi = \pi – \beta + k2\pi\).

Từ đó:
\(x = \beta – \phi + k2\pi\)
\(x = \pi – \beta – \phi + k2\pi\)

Để biểu diễn nghiệm một cách rõ ràng hơn, chúng ta có thể chọn \(\phi\) sao cho \(\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\sin\phi = \frac{-2}{\sqrt{5}}\). Giá trị của \(\phi\) có thể là một góc trong góc phần tư thứ IV.
Và \(\beta = arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})\) là một góc trong góc phần tư thứ I.

Do \(\sin\alpha = \frac{-2}{\sqrt{5}}\) và \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\), ta có thể viết \(\alpha = \arctan(\frac{-2}{1}) = \arctan(-2)\). Tuy nhiên, cần cẩn thận với dấu của hàm arctan.
Hoặc ta có thể đặt \(\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{5}}\), \(\sin\phi = \frac{-2}{\sqrt{5}}\).
Ta có \(\phi = \arctan(\frac{-2}{1})\). Vì \(\cos\phi > 0\) và \(\sin\phi < 0\), nên \(\phi\) nằm trong góc phần tư thứ IV. Ta có thể biểu diễn \(\phi\) bằng một giá trị cụ thể, ví dụ \(\phi \approx -63.4^\circ\) hoặc \(\phi \approx -1.107\) radian. Và \(\beta = arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})\). \(\beta \approx 26.56^\circ\) hoặc \(\beta \approx 0.4636\) radian. Khi đó, nghiệm của phương trình là: \(x = \beta - \phi + k2\pi\) \(x = \pi - \beta - \phi + k2\pi\) Nếu đề bài không yêu cầu tính giá trị cụ thể của góc, chúng ta có thể để nghiệm dưới dạng chứa \(\alpha\) hoặc \(\phi\). Cách làm khác (Đặt \(\cos\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) và \(\sin\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)):
Chúng ta có thể đặt \(\cos\alpha = \frac{-2}{\sqrt{5}}\) và \(\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\).
Khi đó, phương trình sinx – 2cosx = 1 trở thành:
\(\sqrt{5} (\frac{1}{\sqrt{5}} sinx – \frac{2}{\sqrt{5}} cosx) = 1\)
\(\sqrt{5} (sinx \sin\alpha + cosx \cos\alpha) = 1\)
\(\sqrt{5} cos(x – \alpha) = 1\)
\(cos(x – \alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

Đặt \(\gamma = arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})\).
Phương trình \(cos(x – \alpha) = cos\gamma\) có hai trường hợp nghiệm:
Trường hợp 1: \(x – \alpha = \gamma + k2\pi\), với \(k \in Z\).
=> \(x = \alpha + \gamma + k2\pi\), với \(k \in Z\).

Trường hợp 2: \(x – \alpha = -\gamma + k2\pi\), với \(k \in Z\).
=> \(x = \alpha – \gamma + k2\pi\), với \(k \in Z\).

Trong cách này, ta có \(\alpha\) là góc sao cho \(\cos\alpha = \frac{-2}{\sqrt{5}}\) và \(\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\).
Và \(\gamma = arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})\).

Cả hai cách làm đều cho ra kết quả đúng, chỉ là cách biểu diễn nghiệm có thể khác nhau một chút. Quan trọng là các em hiểu được cách biến đổi và áp dụng công thức.

Kết luận:
Nghiệm của phương trình sinx – 2cosx = 1 là:
\[ x = arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) – \alpha + k2\pi \]
\[ x = \pi – arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) – \alpha + k2\pi \]
với \(k \in Z\) và \(\alpha\) là góc thỏa mãn \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \sin\alpha = \frac{-2}{\sqrt{5}}\).

Hoặc:
\[ x = \alpha + \gamma + k2\pi \]
\[ x = \alpha – \gamma + k2\pi \]
với \(k \in Z\), \(\alpha\) là góc thỏa mãn \(\cos\alpha = \frac{-2}{\sqrt{5}}, \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(\gamma = arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})\).

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa để nắm vững hơn dạng toán này nhé. Có chỗ nào chưa hiểu, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy.